8.2 立体几何的直观图（四大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

8.2 立体几何的直观图 一、水平放置的平面图形的直观图 1．斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′= ，它们确定的平面表示水平面. （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 x′轴或y′轴的线段. （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来的 . 2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤 （1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°. （2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点. （3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图. 3．建立坐标系的原则 （1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为 ． （2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为 ；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为 ． （3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在 上． 4．常见平面图形的直观图 原图 直观图 二、中心投影与平行投影 1．投影的概念 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做 .其中，我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 . 2．中心投影 （1）概念 光由一点向外散射形成的投影，叫做 ,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子. （2）性质 ①中心投影的投影线相交于 . ②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越 . 例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同. 3．平行投影 （1）概念 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 ．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做斜投影．如图所示. 在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线. （2）性质 ①平行投影的投影线互相 . ②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全 的. ③当图形中的直线或线段不平行于投影线时： (ⅰ)直线或线段的平行投影仍是 ； (ⅱ)平行直线的平行投影是 的直线； (ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段 ； (ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ； (ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比 这两条线段的长度比. 重难点题型一 斜二测画法-求平面图形的直观图 例1．（2023上·上海·高二校考期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   例2．（2023下·陕西渭南·高一校考期中）（多选题）下列命题中正确的有（    ） A．一个棱柱至少有5个面； B．正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； C．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台； D．正方形的直观图是正方形； 【变式训练1】、（2023下·新疆喀什·高一校考期末）梯形的直观图是（　　） A．梯形 B．矩形 C．三角形 D．任意四边形 【变式训练2】、（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）（多选题）利用斜二测画法得到以下结论，其中说法正确的是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．等边三角形的直观图是一个钝角三角形 C．正方形的直观图不是正方形 D．菱形的直观图是菱形 重难点题型二 斜二测画法-由直观图还原几何图形 例3．（2022下·河北唐山·高一校联考期中）（多选题）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面四边形OABC有（      ） A．图形为矩形 B．周长为8 C．边OC的长度为2 D．面积为 例4．（2023上·高二单元测试）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图