课时梯级训练(10) 二项式定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　二项式定理 1．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC等于(　　) A．2n B．0 C．－1 D．1 D　解析：原式＝(2－1)n＝1. 2．(2x－)5的展开式中含x3的项的系数为(　　) A．80 B．－80 C．－40 D．48 B　解析：(2x－)5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)5－k×(－)k＝(－1)k×25－k×C×x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展开式中含x3的项的系数为(－1)×25－1×C＝－80. 3．使(3x＋)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A.4 B．5 C．6 D．7 B　解析：Tk＋1＝C(3x)n－k()k＝，当Tk＋1是常数项时，n－k＝0，当k＝2，n＝5时n最小． 4．(多选)对于二项式(＋x3)n(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 AD　解析：该二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C()n－k(x3)k＝Cx4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选AD. 5．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是______________，系数为有理数的项的个数是________． 答案：16　5　解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 6．若(1－ax)8的展开式中第6项的系数为1 792，则实数a的值为________． 答案：－2　解析：因为T6＝T5＋1＝C(－ax)5＝C(－a)5x5＝C(－a)5x5，所以有C(－a)5＝－56a5＝1 792，所以a5＝－32，解得a＝－2. 7．已知m∈Z，二项式(m＋x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m＝________． 答案：2　解析：由Cm2－Cm＝16，得3m2－2m－8＝0，解得m＝2或m＝－.因为m∈Z，所以m＝2. 8．若(1＋2x)6的展开式中的第2项系数大于它的相邻两项，则x的取值范围是________． 答案：(，)　解析：由得解得＜x＜. 9．若二项式(x－)6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值． 解：因为Tk＋1＝Cx6－k(－)k＝(－a)kCx6－， 令6－＝3，则k＝2，得A＝C×a2＝15a2； 令6－＝0，则k＝4，得B＝C×a4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2. 10．记(2x＋)n的展开式中第m项的系数为bm. (1)求bm的表达式； (2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n. 解：(1)(2x＋)n的展开式中第m项为 C·(2x)n－m＋1·()m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m， 所以bm＝2n＋1－m·C. (2)当n＝6时，(2x＋)n的展开式的通项为 Tk＋1＝C·(2x)6－k·()k＝26－k·C·x6－2k. 依题意，6－2k＝0，得k＝3， 故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C， 从而C＝C，解得n＝5. 11．(1＋2x)n(n∈N*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 B　解析：因为(1＋2x)n(n∈N*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，所以解得n＝11.故选B. 12．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：由二项式定理，得a1＝－C24＝－80，a2＝C23＝80，a3＝－C22＝－40，a4＝C2＝10，所以＝－. 13．设a≠0，n是大于1的自然数，(1＋)n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________． 答案：3　解析：由题意知A0(0, 1)，A1(1, 3)，A2(2, 4)，故a0＝1，a1＝3，a2＝4. 由(1＋)n的展开式的通项公式知Tk＋1＝C()k(k＝0，1，2，…，n).故＝3，＝4，解得a＝3. 14．已知(＋)n(n<15)的展开式中第9项、