课时梯级训练(9) 分组、分配的问题（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　分组、分配的问题 1．某高校举行一场智能机器人大赛．该高校理学院获得8个参赛名额．已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有(　　) A．20种 B．21种 C．28种 D．35种 D　解析：将8个参赛名额看成8个元素，之间会产生7个空隙，则分配方法数共有C＝35种．故选D. 2．现有红色、黄色、蓝色、黑色小球各一个，放入编号为1，2，3的三个抽屉中，则恰好有1个抽屉为空的不同放法有(　　) A．24种 B．42种 C．60种 D．84种 B　解析：第一步，先从三个抽屉中选择一个空抽屉有C种；第二步，将四个小球分为2＋2或3＋1两组，共有＋C种放法；第三步，将两组小球放入不同编号的抽屉中，共有A种放法．因此恰好有1个抽屉为空的不同放法有C(＋C)A＝42种. 故选B. 3．我国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲、乙、丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其他军舰的安排方案共有(　　) A．14种 B．24种 C．36种 D．50种 C　解析：依题意，甲区域除军舰A外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰. 若甲区域除军舰A外还有一艘军舰，则安排方案共有CCCA＝24种；若甲区域除军舰A外还有两艘军舰，则安排方案共有CA＝12种．所以甲区域还有其他军舰的安排方案共有24＋12＝36种. 故选C. 4．6本不同的书，分成三份，一份4本，另外两份每份1本，共有________种不同的分配方式． 答案：15　解析：由题意，共有＝15种不同的分配方式． 5．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则有________种分法． 答案：28　解析：将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；第二种是恰有两个班分到名额，有CC＝15种情况；第三种是三个班都分到了名额，有C＝10种情况，一共有3＋15＋10＝28种分法． 6．某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到高二年级的6个班级中，若高二(一)班至少3个名额，其余5个班每班至少1个名额，共有________种不同的分法．(用数字作答) 答案：56　解析：先给高二(一)班2个名额，还有9个名额分到6个班级去，每班至少1个名额，使用隔板法，有9个相同元素共8个空(不含两端)，插入5个板，共有C＝56种插法，即有56种不同的分法． 7．有四辆不同特警车准备进驻四个编号为1，2，3，4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车的方法共________种. (用数字作答) 答案：144　解析：由题意，四辆不同特警车准备进驻四个编号为1，2，3，4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车，说明必须恰有一个地方有2辆特警车，从四辆不同特警车中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故其中有一个地方没有特警车的方法共有CA＝144种． 8．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子； (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球． 解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理共有46＝4 096种不同放法． (2)分两类： 第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中； 第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中， 共有CCA＋·A＝1 560种不同放法． (3)方法一　按3，1，1，1放入有C种方法，按2，2，1，1放入有C种方法，根据分类加法计数原理，共有C＋C＝10种不同放法． 方法二(挡板法)　在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四位，共有C＝10种不同放法． 9．若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有(　　) A.30种 B．40种 C．60种 D．80种 C　解析：将2名男生安排到两地有2种方法．若其中一地有1名女生，则有CC种安排方法，若一地有2名女生，则有CC种安排方法，则不同的分配方案有2(CC＋CC)＝60种．故选C. 10．现将编号为1～6的6个吉祥物机器人赠送给3名亚运会志愿者留作纪念，若要求每名志愿者至少获得1个吉祥物且1号和2号吉祥物被赠送给同一名志愿者，则不同的赠送方法数为(　　) A．36 B．72 C．114 D．150 D　解析：由题意1号和2号吉祥物被赠送给同一名志愿者，将1号和2号捆绑在一起，然后将5个吉祥物先分为3组，有两类：1，1，3和1，2，2，再将分好的三组分配给3名志愿者，不同的赠送方法数为(＋)A＝