课时梯级训练(2) 两个计数原理的综合应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时梯级训练(2)　两个计数原理的综合应用 1．(多选)从集合{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，下列说法错误的有(　　) A．其中虚数有30 个 B．其中虚数有42个 C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个 ABD　解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有 6 种方法，第二步确定a有6种方法，由分步乘法计数原理知共有6×6＝36 个虚数. 故选ABD. 2．某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　) A．9×8×7×6×5×4×3×2 B．8×97 C．9×107 D．8.1×107 D　解析：电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107部，所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝8.1×107. 故选D. 3．(多选)已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数可以用式子表示为(　　) A．4×5×5 B．5×5×5 C．4×4＋4×4＋4×4×4＋4 D．5×4×3 AC　解析：方法一　依分步乘法计数原理得，a有4种选择，b有5种选择，c也有5种选择，共有4×5×5个不同的函数． 方法二　由题意可得a≠0，可分以下几类， 第1类，b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数； 第2类，c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数； 第3类，b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数； 第4类，b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数． 由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有16＋16＋64＋4个． 4．(2023·吉林通化阶段模拟)如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有(　　) A．80种 B．120种 C．180种 D．260种 D　解析：根据题意：当1，3部分花卉种类相同时，有5×4×4＝80种，当1，3部分花卉种类不相同时，有5×4×3×3＝180种，所以不同的种植方案共有80＋180＝260种．故选D. 5．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有________条． 答案：60　解析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二横，共有10条路径，从C到B共有3×2＝6条路径，根据分步乘法计数原理可知，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有10×6＝60条． 6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为__________． 答案：18　解析：由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种；如果是第二种“偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种情况，共6种，因此奇数的个数总共有12＋6＝18个. 7．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成多少个个位数字大于十位数字的两位偶数？ 解：由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数分以下四类： (1)个位数字是2的有1个：12； (2)个位数字是4的有3个：14，24，34； (3)个位数字是6的有5个：16，26，36，46，56； (4)个位数字是8的有7个：18，28，38，48，58，68，78. 所以由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数共有1＋3＋5＋7＝16个． 8．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中. 求：(1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数． 解：(1)1号盒中无球即 A，B，C 三球只能放入 2，3，4 号盒子中，有3×3×3＝27种放法. (2)1号盒中有球可分三类： 第一类是1号盒中有一个球，共有3×3×3＝27种放法， 第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9种放法， 第三类是1号盒中有三个球，有1种放法. 共有 27＋9＋1＝37种放法． 9．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2 600多年的历史．现有一算盘，取其两档(如图1)，自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记