7.2 离散型随机变量及其分布列（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.2　离散型随机变量及其分布列 [对应学生用书P36] 学习目标 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.理解两点分布． 3. 掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质． 知识点一　离散型随机变量 离散型随机变量的概念 (1)随机变量概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值． 对随机变量的理解 (1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化； (2)随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机结果； (3)有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它； (4)对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏． [例1] (1)(2023·山东临沂高二联考)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数　　 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 (2)指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． ①某超市5月份每天的销售额； ②某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； ③江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. (1)C　解析：逐一考查所给的选项：A选项中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D选项中的量也是一个定值，而C选项中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．故选C． (2)解：①某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． ②实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． ③不是离散型随机变量，水位在(0, 29]这一范围内变化，不能按次序一一列举． 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量 的具体方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． [练1] 下列变量中是离散型随机变量的是________．(填序号) ①连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X； ②将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X； ③某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X. 答案：①②　解析：判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定的，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来．③中X的取值为某一范围内的实数，无法列出，为连续型随机变量． [练2] 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5个除编号外完全相同的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ； (2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟． 解：(1)ξ可取3，4，5. ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5. (2)ξ的可能取值为区间[0，59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间． 知识点二　离散型随机变量的分布列 一瓶中装有5个除编号外完全相同的球，编号为1，2，3，4，5.从瓶中同时取3个，以X 表示取出的3个球中的最大编号数． 1．随机变量X的可能取值是什么？ 2．试求X取不同值的概率分别是什么？ 3．你能用表格表示X与P 的对应关系吗？ 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n 为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2.两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). [例2] (2023·河北唐山高二阶段检测)彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列； (2)他能及格的概率． 解：(1)由题意可知，X的可能取值为0, 1,