第六章 计数原理 阶段复习提升课（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

计数原理 [对应学生用书P28] 考点一　两个计数原理 运用两个计数原理解决问题时的注意点 (1)对于一些比较复杂的问题既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． (2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． [练1] 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是(　　) A．9　　　　　　　　　　 B．10 C．20 D．40 A　解析：利用第一种方法有C＝5种，利用第二种方法有C＝4种．故共有5＋4＝9种方法完成工作．故选A． [练2] 在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方案有(　　) A．720种 B．2 160种 C．4 100种 D．4 400种 C　解析：当A，C，E三个区域用同一种颜色时，不同的涂色方案有5×43＝320种；当A，C，E三个区域用2种颜色时，不同的涂色方案有(5×4×3)×4×3×3＝2 160种；当A，C，E三个区域用3种颜色时，不同的涂色方案有A×33＝1 620种．所以共有方法数为320＋2 160＋1 620＝4 100种．故选C． 考点二　排列、组合问题 排列、组合应用题的解题策略 　(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么． (2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． [练3] 将4名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有(　　) A．36种 B．24种 C．18种 D．12种 A　解析：先将4名学生分成3组，每组至少1人，有C种不同的分组方法，再把这3组人安排到甲、乙、丙三地，共A种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有C×A＝36种． [练4] 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有(　　) A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 D　解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，共有12×3＝36对． [练5] 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种．(用数字作答) 答案：480　解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法． 考点三　二项式定理的应用 二项式定理的问题类型及解答策略 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可求出二项式中的有关元素． (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项． (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数． (4)求二项展开式中各项系数的和或差：赋值代入． (5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质求解． [练6] (1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　解析：二项式(1＋3x)n(n≥6)的展开式的通项公式是Tk＋1＝C1n－k·(3x)k＝C·3k·xk.依题意得C·35＝C·36， 即 ＝3×， 得n＝7. [练7] (1－2x)5(2＋x)的展开式中x3的项的系数是 (　　) A．100 B．－100 C．120 D．－120 D　解析：(1－2x)5展开式的通项公式为C(－2x)k＝(－2)kCxk，当k＝3时，(1－2x)5展开项为(－2)3C＝－80， 当k＝2时，(1－2x)5展开项为(－2)2C＝40，则(1－2x)5·(2＋x)的展开式中x3的项的系数是2×(－80)＋40＝－120. 考点四　赋值法的应用 二项式定理中赋值法的应用 (1)解决的问题：与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和． (2)应用技巧：