6.3.2 二项式系数的性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 [对应学生用书P24] 学习目标 1．掌握二项式系数的性质及其应用.2.掌握“赋值法”并会灵活运用． 知识点　二项式系数的性质 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k＞时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． [例1] 设(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 024的值； (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值． 解：(1)在等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024中， 令x＝0，得a0＝1． (2)在等式中，令x＝1， 得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 024， 又由(1)可知，a0＝1， 故a1＋a2＋…＋a2 024＝0. (3)分别令x＝－1，x＝1， 得 两式相减，得1－32 024＝2(a1＋a3＋…＋a2 023). 即a1＋a3＋…＋a2 023＝(1－32 024). [变式探究] 本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|的值． 解：由本例(3)解法可知，将 两式相加，得1＋32 024＝2(a0＋a2＋…＋a2 024). 所以a0＋a2＋…＋a2 024＝(1＋32 024). 在(1－2x)2 024的展开式中，a0，a2，a4，…，a2 024大于0，而a1，a3，a5，…，a2 023小于0， 故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 024)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 023)＝(1＋32 024)－(1－32 024)＝ 32 024. 解决二项式系数和问题的思维流程 [练1] 已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，求a1＋a2＋a3＋…＋a7的值． 解：∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， ∴令x＝0，得a0＝(－m)7. 又展开式中x4的系数是－35，可得C(－m)3＝－35， ∴m＝1．∴a0＝(－m)7＝－1． ∴(x－1)7＝－1＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7， 即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1． 综合应用　二项式系数性质的应用 [例2] 在(－)8的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：Tk＋1＝C·()8－k·(－)k ＝(－1)k·C·2k·x4－. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则即 解得k＝5或k＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [变式探究1] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项． 解：由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11． 系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－＝－1 792x－. [变式探究2] 在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项． 解：由题意知n＝8， 通项公式为Tk＋1＝(－1)k·C·()8－k·x8－k， 令8－k＝0，得k＝6， 故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·()2·C＝7. (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． [练2] (1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6， 依题意有C25＝C·26，解得n＝8， 故在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1 120x4. 设第k＋1项系数最大，则有 解得5≤k≤6. ∵k∈{0，1，2，…，8}，∴k＝5或k＝6. ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 1．知识清单 (1)二项式系数的性质． (2)二项式系数性质的应用． 2．方法归纳：赋值法． 3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项