6.3.1 二项式定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 [对应学生用书P21] 学习目标 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题． 知识点　二项式定理 用完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2的方法展开(a＋b)3，(a＋b)4， 1．上述两个等式的右侧有何特点？ 2．你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ 3．类比(a＋b)3，(a＋b)4的推导过程和组合的相关知识，你能得到(a＋b)n的展开式吗？ 二项式定理及相关的概念 概念 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)称为二项式定理 二项式 系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数 二项式 通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk 二项 展开式 Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 备注 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn 1．对二项展开式的理解 (1)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (2)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 2. 对通项公式的两点说明 (1)通项公式Tk＋1＝Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k＋1项，这里k＝0，1，…，n. (2)二项式(a＋b)n的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b不能随便交换位置． [例1] (1)用二项式定理展开(2x－)5； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：(1)方法一　(2x－)5＝C(2x)5＋C(2x)4·(－)＋C(2x)3(－)2＋C(2x)2(－)3＋C(2x)·(－)4＋C(－)5＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　(2x－)5＝＝[C(4x3)5·(－3)0＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2·(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]＝32x5－120x2＋－＋－. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． 应用二项式定理解题的技巧 (1)展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点． (2)对于较复杂的二项式，有时可考虑先化简再展开． (3)对于化简多个式子的和的问题，可以考虑二项式定理的逆用．这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. [练1] 1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值为(　　) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n C　解析：1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n.故选C． [练2] 求(x2＋－2)3的展开式． 解：(x2＋－2)3＝(x－)6＝(x2－1)6 ＝[C(x2)6－C(x2)5＋C(x2)4－C(x2)3＋C(x2)2－Cx2＋C]＝(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. 综合应用　二项展开式通项公式的应用 角度一：二项式系数与项的系数 [例2] (1)求二项式(2－)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求(x－)9的展开式中x3的系数． 解：(1)由已知得二项展开式的通项为 Tk＋1＝C(2)6－k(－)k＝(－1)kC26－kx3－k， 则T6＝－12x－. 故第6项的二项式系数为C＝6， 第6项的系数为(－1)C×2＝－12. (2)Tk＋1＝Cx9－k(－)k＝(－1)kCx9－2k， 令9－2k＝3，解得k＝3， 则展开式中x3的系数为(－1)3×C＝－84. 即展开式中第四项含x3，其系数为－84. 二项式系数和项的系数的区别 (1)二项式系数都是组合数C(k∈{0，1，2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280. 角度二：展开式中的特定项 [