习题课 二项式定理的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

习题课　二项式定理的综合应用 [对应学生用书P26] 学习目标 1．掌握二项式定理及其性质． 2．能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题. 3．能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 综合应用一　两个二项式积的问题 [例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答). (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________． 答案：(1)－28　(2)　解析：(1)因为(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(1－)(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，(1－)·(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. (2)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为Ca2，含x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0.因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝. 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相加，求和即得． [练1] 已知(＋y)(x－2y)5的展开式中x2y2的系数为80，则a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　解析：由题意可得(＋y)(x－2y)5＝(x－2y)5＋y(x－2y)5，对于(x－2y)5的展开式可得ax－1Cx5－k·(－2y)k＝a(－2)kCx4－kyk，k＝0，1，2，3，4，5，令解得k＝2，故(x－2y)5的展开式中x2y2的项的系数为a(－2)2C＝40a；对于y(x－2y)5的展开式可得yCx5－k·(－2y)k＝(－2)kCx5－kyk＋1，k＝0，1，2，3，4，5，令该方程组无解，故y(x－2y)5的展开式中没有x2y2项；又x2y2的系数为80，所以40a＝80，解得a＝2.故选D． 综合应用二　三项展开式问题 [例2] (1)(x－2y＋3z)6的展开式中x3y2z的系数为(　　) A．－60 B．240 C．－360 D．720 (2)(x－－1)4的展开式中，常数项为_________． 答案：(1)D　(2)－5　解析：(1)展开式中的x3y2z项可以看成6个因式(x－2y＋3z)中，其中3个取x，剩下的3个因式中2个取(－2y)，最后一个取3z，即得到C·x3·C·(－2y)2(3z)＝720x3y2z. 所以展开式中x3y2z项的系数为720. 故选D． (2)∵(x－－1)4＝[－1＋(x－)]4， ∴Tk＋1＝C(－1)4－k(x－)k(k＝0，1，2，3，4)，当k＝0时，T1＝1；当k≠0时，(x－)k的展开式的通项公式为Cxn－k·(－)k＝(－1)kCxn－2k(k≤n)，令n＝2k，可得或∴常数项为1＋C(－1)2C(－1)1＋C(－1)0C(－1)2＝1－12＋6＝－5. 解决三项式问题常用的方法 (1)先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解； (2)三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解； (3)三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解； (4)三项式可看做几个因式相乘，利用排列组合去括号． [练2] 在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为(　　) A．－480 B．480 C．－240 D．240 A　解析：(x2－2x＋y)6看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2，则6个因式中，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，此时x5y2的系数CCC·(－2)3＝－480，所以x5y2的系数为－480. 故选A． [练3] 已知多项式(x－＋2)n展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为________． 答案：－68　解析：由题意可得2n＝32，解得n＝5，则(x－＋2)n＝[(x－)＋2]5，则该展开式为Tk＋1＝C(x－)5－k2k，k＝0，1，2，…，5，再把(x－)5－k按照二项式定理展开，通项公式为C(－1)5－kx10－2k－r，令10－2k－r＝0，可得该展开式中的常数项为2CC＋23CC·(－1)＋25C＝－68. 综合应用三　整除和余数问题 [例3] (1)今天是第一天星期一，则第230天是星期________． (2)5555＋1除以8的余数是________． 答案：(1)一　(2)0　解析：(1)因为230＝810＝(7＋1)10＝C·710·10＋C·79·11＋…＋C·71·19＋C·70·110，所以