6.2.2 第1课时 排列数公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2.2　排列数 第1课时　排列数公式 [对应学生用书P8] 学习目标 1．能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题． 知识点　排列数公式 问题 答案 (1) 从4个数字中选取2个，能构成多少个无重复数字的两位数？ □×□＝□ (2) 从4个数字中选取3个，能构成多少个无重复数字的三位数？ □×□×□＝□ (3) 从4个数字中选取4个，能构成多少个无重复数字的四位数？ □×□×□× □＝□ (4) 从n个数字中选取m(m≤n)个，能构成多少个无重复数字的m位数？ ？ 1．排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数． 2．排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ，其中n，m∈N*，并且m≤n. 排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数，是一个数，用A表示． 3．全排列(阶乘) (1)全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． (2)阶乘：将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘． (3)阶乘的相关应用： ①规定：0！＝1； ②排列数公式的阶乘式：A＝. 排列数的两个公式 (1)第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． (2)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数公式的阶乘式. 它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标即(n－m)的阶乘． 公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立． [例1] (1)若A＝10×9×…×5，则m＝(　　) A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7 (2)已知a∈N*，且a<20，则(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列数表示为(　　) A．A B．A C．A D．A (1)C　(2)D　解析：(1)由10－(m－1)＝5，得m＝6. (2)由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8个数的积，所以表示为A，故选D． 排列数的计算方法 排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． [练1] A＝(　　) A．10×9×8×7×6×5 B．10×9×8×7×6 C．10×9×8×7 D．6×5×4×3×2×1 A　解析：由排列数公式知A＝10×9×8×7×6×5. [练2] 化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝________． 答案：A　解析：由排列数公式可知：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A. 综合应用一　利用排列数公式求值、化简 角度一：利用排列数公式求值或化简 [例2] (1)计算：＝__________． (2)解方程：3A＝4A. (3)解不等式：A<6A. 答案：(1)　解析：方法一　＝＝＝. 方法二　＝＝ ＝＝. (2)解：由排列数公式，得原方程可化为 3×＝4×， 化简得3＝，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x＝6. (3)解：原不等式可转化为 <6×. 化简得x2－19x＋84<0. 解得7<x<12. 因为即3≤x≤8，且x∈N*，所以x＝8. [变式探究] 将本例(2)中的方程改为“A＝2A”呢？ 解：因为A＝2A， 所以2n(2n－1)(2n－2)＝2(n＋1)n(n－1)(n－2)， 化简得n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0. 由题意知n≥3，整理方程，可得n＝5. (1)应用排列数公式的阶乘式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． (2)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意A中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉． [练3] 不等式A＋n≤10的解集为________． 答案：{3, 4}　解析：原不等式化为(n－1)(n－2)＋n≤10，即n2－2n－8≤0，解得－2≤n≤4，又n－1≥2，且n∈N*，所以3≤n≤4，所以n＝3或n＝4. 角度二　利用排列数公式证明 [例3] 证明：A－A＝mA. 证明：∵A－A ＝－ ＝·(－1) ＝· ＝m· ＝mA， ∴A－A＝mA. 排列