习题课 排列、组合的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

习题课　排列、组合的综合应用 [对应学生用书P18] 学习目标 1．掌握有限制条件的综合问题的解法.2.能利用组合数公式解决实际问题． 综合应用一　有限制条件的组合问题 [例1] 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2名女生在内时，不同的取法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从余下的34名学生中选取2名，不同的取法有C＝561种． (2)从34名可选学生中选取3名，不同的取法共有C＝5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，不同的取法共有CC＝2 100种． (4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，不同的取法共有CC＋C＝2 555种． (5)选取3名的总数有C种，因此不同的选取方式共有C－C＝6 090种． 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类： 第一类是“含”与“不含”问题．其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步计数． 第二类是“至多”“至少”问题．其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏． [练1] 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名专家中有4名是骨科专家． (1)抽调的6名专家中恰有2名是骨科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名骨科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名骨科专家的抽调方法有多少种？ 解：(1)分两步：第一步，从4名骨科专家中任选2名，有C种选法；第二步，从除去骨科专家的6人中任取4人，有C种选法，所以抽调方法共有CC＝90种． (2)方法一(直接法)　第一类：有2名骨科专家，共有CC种选法；第二类：有3名骨科专家，共有CC种选法；第三类：有4名骨科专家，共有CC种选法．根据分类加法计数原理，所以抽调方法共有CC＋CC＋CC＝185种． 方法二(间接法)　不考虑是否有骨科专家，共有C种选法；选取1名骨科专家，有CC种选法；没有骨科专家，有C种选法，所以抽调方法共有C－CC－C＝185种． (3)“至多”2名包括“没有”“有1名”“有2名”三类情况：第一类：没有骨科专家，共有C种选法；第二类：有1名骨科专家，共有CC种选法；第三类：有2名骨科专家，共有CC种选法．根据分类加法计数原理，所以抽调方法共有C＋CC＋CC＝115种． 综合应用二　排列、组合的简单综合应用 [例2] 已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止． (1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．根据分步乘法计数原理，不同测试方法数为AAA＝103 680. (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现．所以共有不同测试方法数为C(CC)A＝576. 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 (1)按事情发生的过程进行分步； (2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． [练2] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，选法数为(CC＋CC)·A＝5 400种． (2)除去该女生后，选法数为CA＝840. (3)先选后排，但先安排该男生的选法数为CCA＝3 360. (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA＝360种选法． 1．知识清单 (1)有限制条件的组合问题． (2)排列、组合的简单综合应用． 2．方法归纳：直接法、间接法、