提升课 分组、分配的问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

提升课　分组、分配的问题 [对应学生用书P20] 学习目标 1．了解分组、分配问题的区别.2.掌握分组、分配问题的解题策略． 综合应用一　分组、分配问题 角度一：分组问题 [例1] 已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(用数字作答) 解：(1)6本书平均分成3堆，则有＝280种不同的分堆方法． (2)从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，则有CCC＝1 260种不同的分堆方法． 角度二：分配问题 [例2] 有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法． (1)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (2)甲、乙、丙各得2本； (3)一人得4本，另两人各得1本． 解：(1)分三步完成：甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本，共有CCC＝60种分法． (2)分两步完成：先均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有A种，共有·A＝90种分法． (3)部分均匀分组问题，先部分均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有A种，故共有·A＝90种分法． “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)将n个不同元素按某些条件分配给不同的对象，称为分配问题． 分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． [练1] 某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天分早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(　　) A．CCC　　　　　　　 B．CAA C． D．CCCA A　解析：首先从14人中选出12人共C种，然后将12人平均分为3组共种方法，将三组分配下去，则开幕式当天不同的排班种数为CA＝CCC. 综合应用二　相同元素的分配问题 [例3] 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列情形的放法种数： (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，故共有C＝10种放法． (2)方法一　恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法；第二步在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板．由分步乘法计数原理得，共有CC＝40种放法． 方法二　恰有一个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插入一块隔板，如|○|○○○|○○|，有C种插法． 然后将剩下的一块隔板与任意一块并放形成空盒，如|○|○○○||○○|，有C种插法，故共有CC＝40种放法． (3)方法一　分两步完成：第一步任取2个盒子不放小球(取两个空盒子)有C种选法，第二步在6个小球之间的5个空隙中任选一个空档插一块隔板，有C种方法. 由分步乘法计数原理，共有CC＝30种放法． 方法二　恰有两个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种插法，如|○○|○○○○|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，有两种情况，第一种，这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||○○||○○○○|，有C种插法；第二种，将两块板与前面三块板之一并放，如|○○|||○○○○|，有C种插法. 故共有C(C＋C)＝30种放法． 相同元素的分配策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板． [练2] 将参加数学竞赛的20个名额分给9所学校，每所学校至少1个名额，则名额分配种数为(　　) A．C B．C C．C D．C D　解析：问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数，相当于在20个相同元素的19个间隔(除去两端)中插入8块隔板隔成9份，故共有C种方法，所以名额分配方式有C种．故选D． [练3] 用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有________个． 答案：45　解析：设a1，a2，a3对应个位到百