6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时　两个计数原理的综合应用 [对应学生用书P4] 学习目标 1．进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别． 2. 会正确应用这两个计数原理来解决问题． 综合应用一　组数问题 [例1] 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种排法，即可以排出125个三位数字的电话号码． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100种排法，即可以排成100个三位数． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因此有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [变式探究] 由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步把剩下的包括0在内的3个数字排百位有3种方法，第四步排十位有2种方法．由分步乘法计数原理得本例中的五个数字可组成2×3×3×2＝36个无重复数字的四位奇数． 常见的组数的解题原则 (1)首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数； (2)其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等； (3)最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． [练1] 从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　) A．7 B．9 C．10 D．13 C　解析：各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形： ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个； ②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222. 故这样的三位数共有3＋6＋1＝10个，故选C． 综合应用二　抽取与分配问题 [例2] 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16 种 B．18 种 C．37 种 D．48 种 C　解析：方法一(间接法)　先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37种方案． 方法二 (直接法)　以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第1类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第 2 类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有 3×3＝9种；第3类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有 3×3×3＝27种. 综上所述，不同的分配方案有 1＋9＋27＝37种．故选C． 抽取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． [练2] 元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有(　　) A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 B　解析：方法一　设四人A，B，C，D写的贺卡分别是a，b，c，D． 当A拿贺卡b，则B可拿a，c，d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，由分类加法计数原理，四张贺卡共有3＋3＋3＝9种分配方式，故选B． 方法二　让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺卡. 如果A先拿贺卡，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取