6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用 [对应学生用书P1] 学习目标 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 知识点一　分类加法计数原理 1．用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 2．在1，2，3，4这四个数字中任取两个及以上的数(不重复取)求和，则取出的数的不同的和有多少种？ 3．你能说出解决上述两个问题的步骤吗？ 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 对分类加法计数原理的说明 (1)核心：原理的核心是“分类”，将完成一件事的方法分为若干类． (2)特点：相互独立．各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事． (3)应用：①根据问题的特点确定一个分类的标准； ②在确定的标准下进行分类； ③分类不能重复，不能遗漏． (4)目的：原理的目的是求解完成一件事的不同方法数，在应用原理解题时要有这种意识，明确并努力思考要求我们完成一件什么事，这件事要如何完成． [例1] 若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． 解：按x的取值进行分类： 当x＝1时，y＝1，2，3，4，5，共构成5个有序自然数对； 当x＝2时，y＝1，2，3，4，共构成4个有序自然数对； … 当x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [练1] 如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点). 答案：5　解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法； 第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法． 知识点二　分步乘法计数原理 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再和小红一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动． 1．小明从E处到F处的最短路径有多少条？ 2．小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条？ 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 1．用分步乘法计数原理解决的问题的特点 (1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； (2)完成每一步都有若干种方法； (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 2．利用分步乘法计数原理的注意点 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； (2) “步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉； (3)若完成某件事需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事才算完成． [例2] 若从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？ 解：解答本题需分三步完成， 第一步，选系数a(a不能为0)，有5种选法． 第二步，选系数b，有5种选法． 第三步，选系数c，有4种选法． 根据分步乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4＝100. [变式探究] 若本例中的二次函数的顶点在第一象限且经过原点，则可以得到多少条不同的抛物线？ 解：分三步： 第一步，确定c，c＝0，只有1种方法； 第二步，确定a，a从－2，－1中选一个，有2种不同方法； 第三步，确定b，从1，2，3中选一个，有3种不同方法． 根据分步乘法计数原理得1×2×3＝6种不同方法，所以可以得到6条不同的抛物线． 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 [练2] (2023·山东泰安阶段检测)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有(　　) A．10种　　　　　 B．20种 C．25种 D．32种 D　解析：由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方法有25＝32种. 故选D． [练3] 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏. 如图是数独的一个简化版，由3行3列共9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有(　　) A．12种　　 B．24种　　 C．72种　　 D．216种 A　解析：先填第一行，有3×2×1＝6种不同填法，再填第二行第一列，有2种不