6.3实数（八大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）七年级下册数学《第六章 实数》 6.3 实 数 知识点一 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点二 实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点三 实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点四 实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 知识点五 实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 题型一 无理数的识别 【例题1】9．（2023秋•莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 解题技巧提炼 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 【变式1-1】（2022秋•皇姑区校级期末）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C．0.25 D．0.1010010001 【变式1-2】（2022秋•碑林区校级期末）在实数﹣2，，，，中的无理数是　 　． 【变式1-3】（2023秋•东营期末）给出下列实数：、、、、、0.、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-4】下列说法错误的有（　　） ①无限小数是无理数； ②无理数都是带根号的数； ③只有正数才有平方根； ④3的平方根是； ⑤﹣2是（﹣2）2的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-5】（2022春•杜尔伯特县期中）下列语句正确的是（　　） A．3.78788788878888是无理数 B．无理数分正无理数、零、负无理数 C．无限小数不能化成分数 D．无限不循环小数是无理数 【变式1-6】（2022秋•高邮市期中）下列一组数：﹣8，2.7，，，0.66666…，0，2，0.080080008…，其中是无理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-7】（2023春•邹城市期中）在实数：3.14159，，，4.，π，，有理数的个数是 　 　． 【变式1-8】（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 题型二 实数的分类 【例题2】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上： ①﹣3.14，②2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0