【全程复习方略】2016届高考数学（文科，人教A版，全国通用）大一轮教师用书配套课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入（5份打包）

第三节　 平面向量的数量积 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣　填一填 (1)向量的夹角: ∠AOB 0°≤θ≤ 180° a∥ b θ=90° 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零 向量a和b,作 =a， = b,则______就 是a与b的夹角 设θ是a与b的 夹角,则θ的 取值范围是__________ ______ θ=0°或θ= 180°⇔____ __,________ ⇔a⊥b (2)平面向量的数量积: |a||b|cosθ |a|cosθ |b|cosθ |b|cosθ 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量 ____________叫做a与b的数量积,记作a·b 投影 _________叫做向量a在b方向上的投影, _________叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影_________的乘积 (3)数量积的性质: 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则 ①e·a=a·e= _________. ②cosθ=________. ③a·b≤_______. |a|cosθ |a||b| (4)数量积的运算律: ①交换律:a·b=b·a. ②数乘结合律:(λa)·b= _________= _________. ③分配律:a·(b+c)=__________. λ(a·b) a·(λb) a·b+a·c (5)平面向量数量积的坐标表示: 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则 x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0 数量积 a·b=________ 模 |a|＝_________ 夹角 cos θ＝_________________ 向量垂直的 充要条件 a⊥b⇔a·b=0⇔__________ 2.必备结论 教材提炼　记一记 (1)a与b为两非零向量,则a⊥b⇔_______. (2)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|. 当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|, 特别地,a·a= ____或者|a|=_______,0·a=__. a·b=0 |a|2 0 (3)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a+b)·(a-b)=a2-b2. ②(a+b)2=a2+2a·b+b2. ③(a-b)2=___________. a2-2a·b+b2 3.必用技法 核心总结　看一看 (1)常用方法:基底法;坐标法. (2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想. (3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方. 横纵坐标分别乘,相加求和积充当. 【小题快练】 1.思考辨析 静心思考　判一判 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.(　　) (2)若a·b=0,则必有a⊥b.(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) (4)若a·b<0,则向量a,b的夹角为钝角.(　　) 【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负. (2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到a⊥b. (3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确. (4)错误.当a·b=-|a||b|时,a与b的夹角为π. 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.教材改编 链接教材　练一练 (1)(必修4P104例1改编)已知|a|=2,|b|=4,a·b=4 ,则a与b的夹 角θ=　　　　. 【解析】因为a·b=|a||b|·cosθ, 所以cosθ= 又因为0°≤θ≤180°,故θ=30°. 答案:30° (2)(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=　　　　. 【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4), 若互相垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0, 即a2-k2b2=0, 即5-25k2=0,即k2= , 所以k=± . 答案:± 3.真题小试 感悟考题　试一试 (1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= , 则a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 【解题提示】将|a+b|,|a-b|两边平方,联立方程求解a·b. 【解析】选A.因为|a+b|= ,|a-b|= ,所以a2+b2+2a·b=10, a2+b2-2a·b=6,联立方程解得a·b=1,故选A. (2)(2014·四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2