【全程复习方略】2016届高考数学（文科，人教A版，全国通用）大一轮教师用书配套课件：热点专题突破系列 （6份打包）

热点专题突破系列(一) 导数的综合应用 考点一　利用导数解决实际生活中的优化问题　 【考情分析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查. 【典例1】(2015·重庆模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域. (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值. 【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.根据题意得 200πrh+160πr2=12000π,所以h= (300-4r2),从而V(r)=πr2h = (300r-4r3). 因r>0,又由h>0可得r< ,故函数V(r)的定义域为(0, ). (2)因V(r)= (300r-4r3).故V′(r)= (300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5, )时,V′(r)<0,故V(r)在(5, )上为减函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答. 提醒：解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域. 【变式训练】(2015·沈阳模拟)据统计某种汽车的最高车速为120千米/小时，在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)之间有如下函数关系： 已知甲、乙两地相距100千米. (1)若汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5(小时)， 需耗油 =17.5(升). 所以汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油17.5升. (2)当汽车的行驶速度为x千米/小时时，从甲地到乙地需行驶 小时. 设耗油量为h(x)升，依题意， 得h(x)=( )· = h′(x)= (0＜x≤120). 令h′(x)=0,得x=80, 因为当x∈(0,80)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时,h′(x)＞0,h(x)是增函数，所以当x=80时，h(x)取得最小值h(80)=11.25. 所以当汽车以80千米/小时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【加固训练】(2015·银川模拟)某建筑公司要在一 块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影 部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开 (栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，设P(t,f(t)). (1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t). (2)若在t= 处,S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值. 【解析】(1)f′(x)=-2ax,所以切线斜率是-2at, 所以切线方程为y-(1-at2)=-2at(x-t). 令y=0，得x= ，所以M( ,0)，令x=0, 得y=1+at2,所以N(0,1+at2), 所以△OMN的面积S(t)= (2)S′(t)= 由a＞0,t＞0,S′(t)=0，得3at2-1=0，即 当3at2-1＞0,即t＞ 时