课时梯级训练(11) 等比数列前n项和的实际应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　等比数列前n项和的实际应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数为(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 B　解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7＝381，公比q＝2，∴＝381，解得a1＝3. 2．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，则该女子所需的天数至少为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 C　解析：设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1).由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8. 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”(注：1里＝500米)你的计算结果是(　　) A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 D　解析：由题意可知此人每天走的步数构成以为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得＝378，解得a1＝192，∴此人第二天走了192×＝96(里).故选D. 4．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种套餐可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A套餐的学生，下星期一会有20%改选B套餐；而选B套餐的学生，下星期一会有30%改选A套餐．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A套餐和选B套餐的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　　) A．an＋1＝an＋150 B．an＋1＝an＋200 C．an＋1＝an＋300 D．an＋1＝an＋180 A　解析：依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150. 5．如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 答案：　解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列．现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×()9＝. 6．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于__________平方厘米． 答案：2 048　解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2()9]2＝4×29＝2 048. 7．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，求每年应偿还的金额． 解：设每年应偿还x万元，则x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，∴x·＝a(1＋γ)5，故x＝(万元). 8．某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始还款，每月还款一次，共还12次，购买后一年还清，月利率为0.8%.按复利计算，那么每期应付款多少？(参考数据：1.00812≈1.1) 解：设每期应还款x元，则第1期还款到最后一次还款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期还款到最后一次还款时的本息和为x(1＋0.008)10……第12期还款没有利息，所以各期还款连同利息之和为 x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x. 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812， 于是有x＝2 000×1.00812. 解得x＝≈176(元). 所以每期应还款176元． 9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2025年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2025年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区稀土资源的出口，问2025年最多出口多少吨？(结果保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列