课时梯级训练(9) 等比数列的应用及性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　等比数列的应用及性质 　　　　　　　 1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　) A．± B．－ C． D．± C　解析：根据等比数列的性质可知a1a5＝a⇒a5＝＝.故选C. 2．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32 B．64 C．256 D．±64 B　解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝a＝a1a99＝16.又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B. 3．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．－9 A　解析：a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2.∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4. 4．(多选)已知等比数列{an}，满足a1＝1，公比q＝－3，下列说法正确的是(　　) A．数列{3an＋an＋1}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等差数列 C．数列{anan＋1}是等比数列 D．数列{log3|an|}是等差数列 CD　解析：等比数列{an}，满足a1＝1，公比q＝－3，3an＋an＋1＝3[(－3)n－1]＋(－3)n＝[(－1)n－1＋(－1)n]·3n＝0，∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，故A错误；an＋1－an＝(－3)n－(－3)n－1＝·(－3)n，是等比数列，故B错误；anan＋1＝(－3)n－1·(－3)n＝(－3)2n－1，是等比数列，故C正确；log3|an|＝log3|(－3)n－1|＝n－1，是等差数列，故D正确．故选CD. 5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．f B．f C．f D．f D　解析：由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.故选D. 6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝____________． 答案：1 536　解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截去一半剩下a1尺，第二天被截去剩下的一半剩下a2尺……第五天被截去剩下的一半剩下a5尺，则＝________． 答案：24　解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且公比为，则＝＝24. 8．2023年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)哪一年两林场木材的存量相等？ (2)问两林场木材的总量到2028年能否翻一番？ 解：(1)设经过n年两林场木材的存量相等，即 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2， 故到2025年两林场木材的总存量相等． (2)令n＝5，则a5＝16a()4＋25a()4<2(16a＋25a)， 故到2028年不能翻一番． 9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式． 解：∵a1a5＝a，a3a7＝a， ∴由题意得a－2a3a5＋a＝36， 同理得a＋2a3a5＋a＝100，∴ ∵an＞0，∴ 即或 解得或 ∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n. 10．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，则k3＝(　　) A．14 B．34 C．41 D．86 C　解析：因为a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，可得a2＝3a1，所以ak3＝a1·34＝81a1，又因为数列{an}为等差数列，所以公差d＝a2－a1＝2a1，所以ak3＝a1＋(k3－1)d＝a1＋2(k3－1)a1＝(2k3－1)a1，所以(2k3－1)a1＝81a1，解得k3＝41.故选C. 11．(多选)设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn