课时梯级训练(8) 等比数列的概念与通项公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　等比数列的概念与通项公式 　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)下列各组数成等比数列的是(　　) A．1，－2, 4，－8 B．－，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4 ABD　解析：由等比数列的定义，知ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列． 2．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是(　　) A．1 B． C． D． A　解析：∵a1＝，a2＝，则q＝，∴a4＝a1·q3＝·＝1. 3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 B　解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9. 4．在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．1 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 C　解析：方法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 方法二　∵a5＝a4q，a6＝a4·q2，∴由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 5．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为____________________． 答案：80，40，20，10　解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝，∴这4个数依次为80，40，20，10. 6．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝_________． 答案：4　解析：∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4. 7．若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5＝__________． 答案：32　解析：由题意，得＝(－)n－1(n≥2)，所以＝－，＝(－)2，＝(－)3，＝(－)4，将上面的四个式子两边分别相乘， 得＝(－)1＋2＋3＋4＝32.又a1＝1，所以a5＝32. 8．已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：设该等比数列{an}的公比为q，首项为a1， ∵ ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2). 上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝. ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·()10＝9. ∴a5，a7的等比中项是±3. 9．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an. (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{bn}的通项公式． (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1， ∴＝＝＝－. ∴{bn}是等比数列． (2)解：∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－， ∴bn＝1×(－)n－1＝(－)n－1. 10．下列选项中，下列是{an}为等比数列的充要条件的是(　　) A．an＋1＝anq(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝anan＋2≠0 D．an＋1＝ C　解析：对于A，an＋1＝anq，当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an＝a1qn－1，当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D，an＋1＝，当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误． 11．一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q＝________． 答案：　解析：依题意a1＝a2＋a3，∴a1＝a1q＋a1q2.∵a1≠0，∴q2＋q－1＝0.∴q＝或q＝(舍去). 12．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解：(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn. 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 13．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数