课时梯级训练(5) 等差数列的应用及性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(5)　等差数列的应用及性质 　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为(　　) A． B．± C．－ D．－ D　解析：由等差数列的性质，得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－. 2．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 B　解析：设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7. 3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B　解析：由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8.又d≠0，∴m＝8. 4．各项均为正数的等差数列{an}中，3a6－a＋3a8＝0，则a7＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　解析：∵3a6－a＋3a8＝0，∴由等差数列性质，可得6a7－a＝0.∵等差数列{an}各项不为零，∴a7＝6.故选C. 5．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________． 答案：20　解析：设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7 ＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20. 6．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________． 答案：105　解析：∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.∵a1a2a3＝(a2－d)a2·(a2＋d)＝5(25－d2)＝80.又d为正数，∴d＝3.∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3(5＋30)＝105. 7．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温． 解：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 8．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项……第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4. ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d.∴d＝2. ∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　) A．1升 B．升 C．升 D．升 B　解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，由条件得即解得所以a5＝a1＋4d＝. 10．(多选)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 ABD　解析：由题意得：插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，….所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1).因为b9是数列{a