课时梯级训练(35) 直线与平面垂直的判定（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(35)　直线与平面垂直的判定 1．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　) A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直 C．l在平面α内 D．不能确定 D　解析：如图，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D. 2.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 C　解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，所以l⊂α，所以BA⊥l；同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC. 3．若直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于(　　) A．20° B．70° C．90° D．110° B　解析：因为l∥m，所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角．又直线l与平面α所成的角为70°，所以m与α所成的角为70°. 4.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥AC，EC⊥BC，且EC＝12，则ED＝(　　) A．2 B．2 C．13 D．26 C　解析：因为△ABC为直角三角形，∠ACB为直角， 所以AB＝＝10. 因为D为AB的中点，所以CD＝5. 又EC⊥AC，EC⊥BC，AC∩BC＝C，所以EC⊥平面ABC. 因为CD⊂平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝＝13.故选C. 5．在四面体的四个面中，直角三角形最多可有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，四棱锥A1­ABC的四个侧面都是直角三角形．故选D. 6.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________. 答案：2　解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝AB＝PA，所以tan ∠PCA＝＝2. 7．已知正三棱锥S­ABC的所有棱长都相等，则SA与底面ABC所成角的余弦值为________. 答案：　解析：因为S­ABC为正三棱锥，所以点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，则∠SAO为SA与底面ABC所成的角．设正三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，AO＝·a sin 60°＝a，SA＝a，所以cos ∠SAO＝＝. 8.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD，∠ACB＝∠ACD.求证：BD⊥平面PAC. 证明：因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形． 又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. 9．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m B　解析：根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确，其他三个选项都不满足结论成立的条件． 10.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________． 答案：垂直　解析：因为AA1⊥平面ABC，所以BC⊥AA1. 因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.又AB∩AA1＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B.又AM⊂平面AA1B1B，所以AM⊥BC. 11.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，PC⊥平面BDM.(只填写一个认为正确的条件即可) 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)　解析：连接BD，AC. 因为四边形ABCD各边都相等，即四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA. 因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC或BM⊥PC时，PC⊥平面BDM. 12.已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________． 答案：45°　解析：因为PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，所以PC⊥平面ABC，所以PM在平面ABC内的射影为CM，故∠