6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 [对应学生用书P25] 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能求出a·b的值吗？ 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两个向量的数量积的，两者可以相互推导． (2)在求两个向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2来求解． [例1] (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (1)C　(2)C　解析：(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)由题意可得，8a－b＝(6，3).又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件来计算． [练1] 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 B　解析：因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 知识点二　平面向量的模 模 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ 若a＝(x2－x1，y2－y1)，则|a|＝ 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||为A，B两点间的距离． [例2] (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y).若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为 ． 答案：(1)A　(2)2＋　解析：(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4.∴3a＋b＝(1，2).∴|3a＋b|＝. (2)2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，故|2a－b|＝＝＝. 当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值＝2＋. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [练2] 已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A． B． C．5 D．25 C　解析：∵a＝(2，1)，∴a2＝5.又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. [练3] 已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为 . 答案：－　解析：由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，解|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝25λ2＋10λ＋5＝25(λ＋)2＋4.当λ＝－时，|c|min＝2. 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 坐标表示 夹角 cos θ＝＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆；(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小