6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 [对应学生用书P17] 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 2．掌握平面向量基本定理并会用基底表示平面向量． 3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点　平面向量基本定理 如图，在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任意一个向量是否可以分解为其他两个向量的和？ 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． (3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． [例1] (多选)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 ACD　解析：选项B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底． 两个向量能否构成基底，主要看两向量是否共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． [练1]如图，O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A．， B．， C．， D．， B　解析：由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可作为基底．故选B. [练2] 已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝ ． 答案：3　解析：因为{a，b}是一个基底， 所以a与b不共线． 由平面向量基本定理得解得所以x－y＝3. [例2] 如图，▱ABCD中，E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若＝a，＝b，试用a，b表示向量，，. 解：＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝－＋＝b－a. 由E，F为BC，DC边的中点，则G为△BCD的重心，所以BG＝BF，所以＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. [变式探究] 若本例中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，，. 解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 由例题分析知＝＋＝2＋(＋)＝－－＝－b－a. 用基底表示向量的方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． [练3]如图，在△ABC中，F是边AB上靠近点B的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示. 解：因为＝－＝e1－e2，所以＝＝(e1－e2)， 所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2. 综合应用：平面向量基本定理的应用问题 [例3]如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝b. (1)用a，b分别表示向量，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解：(1)∵＝(＋)＝(a＋b)， ∴＝＝(a＋b). ∵＝＝b，∴＝－＝－a＋b. (2)由(1)知＝－a＋b， ＝－＝－a＋b＝(－a＋b)， ∴＝.∴与共线． 又BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线． 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解． [练4] 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点(AF＝AD，BG＝BC)，设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)如果|a|＝|b|，用向量的方法证明：EF⊥EG. (1)解：由题意，＝－＝－＝－a＋b，＝＋＝＋＝a＋b. (2)证明：由(1)得·＝(－a＋b)·(a＋b)＝－a2＋b2 ＝－×(|b|)2＋b2＝0， 所以EF⊥