正余弦定理限时训练五-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正余弦定理� � 限时训练五 一、单选题 1．在中，角的对边分别是，，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（    ） A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米 4．在中，为边上一点，，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 6．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．已知中，，．下列说法中正确的是（    ） A．若是钝角三角形，则 B．若是锐角三角形，则 C．的最大值是 D．的最小值是 8．已知的内角的对边分别为，若，则面积的可能取值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 三、填空题 9．在中，，，延长到点，使得，，则的长为 ． 10．在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若面积，且，则c最小值为 ． 四、解答题 11．已知分别是三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，将射线和分别绕点顺时针旋转，，旋转后相交于点（如图所示），且，求. 12．在中，角的对边分别为且. (1)求角A; (2)若的平分线交于点，求的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据正弦定理角化边有，设，，， 再利用余弦定理即可求得. 【详解】在中，，则， 设，， 则. 故选：C 2．B 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【详解】∵， ∴由余弦定理可得：, ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选:B 3．A 【分析】画出示意图，结合三角函数的定义和正切展开式求解即可. 【详解】 模型可简化为如上图，在中，， 所以，而， 代入上式并化简可得米， 故选：A. 4．A 【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，解得， 所以为等腰三角形，则， 在中由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 所以 . 故选：A 5．B 【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B 6．ACD 【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，选项A正确； B选项，，选项B错误； 在中，由正弦定理得，故C和D正确. 故选：ACD 7．BC 【分析】根据为钝角时即可判断A，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD. 【详解】对于A,若为钝角，则,故，A错误， 对于B,由正弦定理可得， 由于是锐角三角形，所以且，故， 故，进而，故B正确， 对于C, ,由于，所以时，取最大值，故最大值为，C正确， 对于D，由正弦定理可得 当时，，故D错误， 故选：BC 8．AB 【分析】由余弦定理角化边整理进而得，再结合基本不等式求得进而求得答案. 【详解】由余弦定理，， 化简得到，而， 故，故，有，当且仅当等号成立； 故． 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理和基本不等式，解题关键是利用角化边得并利用基本不等式求出. 9． 【分析】利用正弦定理可求的值，进而可求的值，可求，的值，进而利用正弦定理可得的值． 【详解】在中，，，延长到点，使得，， 在由正弦定理得， 可得， 又，所以或， 若，则， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 若，则， 则，不符合题意，故舍去； 综上可得． 故答案为：． 10． 【分析】由三角形的面积公式可得，再将其代入余弦定理化简可得，由二倍角的正弦、余弦公式和基本不等式求解即可. 【详解】因为面积，所以，所以， 由余弦定理可得：， 将代入可得： ，， ， 当且仅当，即时取等. 所以，c最小值为. 故答案为：. 11．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理，由 ， 因