培优练习一　平面向量与三角形的四“心”-2023-2024学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册

培优一 平面向量与三角形的四“心” 一、单选题 1．已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 2．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 5．已知点P在所在平面内，满足，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 6．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 7．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 三、填空题 9．已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件，则点P的轨迹一定通过的 心. 10．中，，，为的重心，为的外心，则 ． 四、解答题 11．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设，将用，，表示； (2)设，，证明：是定值． 12．在中，，，，点O为所在平面上一点，满足（且）． （1）证明：； （2）若点O为的重心，求m、n的值； （3）若点O为的外心，求m、n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据各点所满足的表达式，利用平面向量运算律并结合几何关系的向量表示可分别求得点依次是的外心，重心，垂心. 【详解】因为，所以点O到三个顶点的距离相等， 所以O为的外心； 如下图所示： 记BC的中点为D，因为， 所以，所以P，A，D三点共线， 故点P在中线AD上， 同理点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心； 作，因为， 所以， 所以，所以点N在BE上， 同理点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心. 故选：C 2．D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 3．B 【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件. 【详解】因为，所以点是的重心， 所以. 因为，所以， 综上，. 因为，所以三点共线，则，即. 因为均为正数，所以，则， 所以（当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为. 故选：B 4．C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 5．D 【分析】根据题意分析可知点P为的重心，根据重心的性质结合向量的线性运算求解. 【详解】因为，则点P为的重心， 取的中点D， 则，整理得， 所以，可得. 故选：D. 6．ACD 【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得， 若，可得M为BC的中点，所以A正确；    对于B中，若M为的重心，则满足， 即，所以B不正确； 对于C中，由，可得，即， 所以M，B，C三点共线，所以C正确； 对于D中，如图所示，由，    可得，所以D正确． 故选：ACD 7．ABD 【分析】利用平面向量的线性运算证明选项ABD正确，证明选项C错误即可. 【详解】A. 为重心，所以, 所以, 所以, 所以，所以该选项正确. B.， 由于G是重心，所以，所以， 同理,所以， 所以该选项正确. C.,所以该选项错误. D., 所以,所以该选项正确. 故选：ABD    8．ACD 【分析】根据向量的线性运算以及模长的含义即可判断A，根据共线定理的推论即可判断B，根据重心的性质即可判断C，根据向量加法的平行四边形法则即可判断D. 【详解