第14讲 分式方程（7大考点+7种题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

第14讲 分式方程 1、经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。 2、知道分时方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 一．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 二．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 三．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 四．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 五．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 六．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 七．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 一．分式方程的定义（共1小题） 1．（2021春•滨海县期中）下列方程中，是分式方程的是　　 A． B． C． D． 二．分式方程的解（共5小题） 2．（2023春•新吴区期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 3．（2023春•天宁区校级期中）若关于的不等式组恰有3个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是　　 A．6 B．10 C．8 D．2 4．（2023春•江都区期中）若关于的方程无解，则的值为 　　． 5．（2023春•吴江区校级月考）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 　　． 6．（2023春•江都区期中）阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或． 又因为， 所以关于的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解分别为，，则　　，　　； （2）方程的两个解分别为，，求的值； （3）关于的方程的两个解分别为、，求（用含的代数式表示）． 三．解分式方程（共5小题） 7．（2023春•工业园区校级期中）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是　　 A． B． C． D． 8．（2023春•栖霞区校级月考）关于的分式方程的解是　　，若解是正数，则的取值范围是　　． 9