8.1 成对数据的统计相关性（五大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

8．1 成对数据的统计相关性 【题型归纳目录】 题型一：相关关系的理解 题型二：散点图与相关性 题型三：散点图及其应用 题型四：线性相关性的检验 题型五：判断线性相关的强弱 【知识点梳理】 1、相关关系 两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关． 3、线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4、相关系数的计算 注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量 假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：． 【典型例题】 题型一：相关关系的理解 【典例1-1】（2024·高二·上海金山·期末）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 【典例1-2】（2024·高二·四川成都·期中）下列两个量之间的关系是相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量 【变式1-1】（20·21高二·全国·课时练习）下列两个变量间的关系，是相关关系的是（    ） A．任意实数和它的平方 B．圆半径和圆的周长 C．正多边形的边数和内角度数之和 D．天空中的云量和下雨 【变式1-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，两个变量具有相关关系的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【变式1-3】（2024·高二·四川乐山·期末）下列变量间的关系，不是相关关系的是（    ） A．一块农田的水稻产量与施肥之间的关系 B．正方形的面积与边长之间的关系 C．商品销售收入与其广告费支出之间的关系 D．人体内的脂肪含量与年龄之间的关系 【方法技巧与总结】 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 题型二：散点图与相关性 【典例2-1】（2024·高二·广西桂林·开学考试）对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【典例2-2】（22·23高二·全国·随堂练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·辽宁·期末）在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2021高二·全国·专题练习）对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其相关系数的比较，说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·新疆和田·期末）对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（    ） A．     B．     C．   D．   【变式2-4】（2024·高三·湖南·阶段练习）某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度（单位：千米）与气压（单位：千帕）的六组数据绘制成如下散点图，分析研究发现点相关数据不符合实际，删除点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（    ）    A．删除点后，样本数据的两变量正相关 B．删除点后，相关系数的绝对值更接近于1 C．删除点后，新样本的残差平方和变大 D．删除点后，解释变量与响应变量相关性变弱 【方法技巧与总结】 判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 题型三：散点图及其应用 【典例3-1】（2024·高二·上海·课时练习）为了研究豆类脂肪含量与其产生的热量的关系，选取了5种豆类进行实验