7.5 正态分布（七大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

7．5 正态分布 【题型归纳目录】 题型一：正态曲线的图象的应用 题型二：利用正态分布的对称性求参数 题型三：正态曲线的性质 题型四：特殊区间与指定区间的概率 题型五：原则 题型六：正态分布的实际应用 题型七：正态分布标准化 【知识点梳理】 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3、正态分布的期望与方差 若，则，． 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 【典型例题】 题型一：正态曲线的图象的应用 【典例1-1】（2024·高二·江苏·课时练习）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【典例1-2】（2024·高二·江苏·课时练习）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．  C．    D．   【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·广东潮州·期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 【方法技巧与总结】 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式． 题型二：利用正态分布的对称性求参数 【典例2-1】（2024·高三·广西南宁·开学考试）随机变量服从正态分布，，，则（    ） A． B． C．1 D． 【典例2-2】（2024·高二·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【变式2-1】（2024·高二·河南南阳·期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【变式2-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·辽宁鞍山·阶段练习）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式2-4】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如： ①； ②． 题型三：正态曲线的性质 【典例3-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【典例3-2】（2024·高三·江苏镇江·开学考试）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【变式3-1】（2024·高二·江西南昌·期末）某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 【变式3-2】（2024·高三·全国·阶段练习）一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高三·重庆·阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自