7.4 二项分布与超几何分布（七大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4 二项分布与超几何分布 【题型归纳目录】 题型一：n重伯努利试验的判断 题型二：n重伯努利试验概率的求法 题型三：二项分布的均值与方差 题型四：利用超几何分布的公式求概率 题型五：超几何分布的分布列 题型六：超几何分布的综合应用 题型七：服从二项分布的随机变量概率最大问题 【知识点梳理】 知识点一．次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点二．二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 知识点三．超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【方法技巧与总结】 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 【典型例题】 题型一：n重伯努利试验的判断 【典例1-1】（2024·全国·高二专题练习）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是伯努利试验的是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【典例1-2】（多选题）（2024·全国·高二课时练习）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（       ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【方法技巧与总结】 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验的结果相互独立，互不影响． 题型二：n重伯努利试验概率的求法 【典例2-1】（2024·全国·高二课时练习）在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是（       ） A．(0，0.6] B．[0.6，1) C．[0.4，1) D．(0，0.4] 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则3次试验中至少有2次成功的概率是（       ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·浙江金华·模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ． 【方法技巧与总结】 n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试