专题10.3几个三角恒等式（六个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题10.3几个三角恒等式 知识点1积化和差公式与和差化积公式 1.积化和差公式 2.和差化积公式 、 知识点2半角公式及万能公式 1、半角公式： ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 重难点1积化和差公式的应用 【例1】 化为和差的结果是 . 【例2】求值： . 【变式1-1】（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式1-3】若，则等于（    ） A． B． C． D． 重难点2和差化积公式的应用 【例3】的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【例4】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】 ． 【变式2-3】（1） ； （2） ． 必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 重难点3半角公式的应用 【例5】已知角是第二象限角，且终边经过点，则（    ） A． B． C． D．或 【例6】已知，，，均为锐角，则=（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】若，是第三象限的角，则＝（　　） A．2 B． C．﹣2 D． 【变式3-2】已知，且. (1)求和的值； (2)若，且，求的值. 【变式3-3】已知，角的终边在第一象限，求的值． 重难点4三角形中的三角恒等变换 【例7】在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【例8】在中，，则（） A． B． C． D． 【变式4-1】在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-3】在中，已知，试判断的形状． 在三角形中，，常用公式有 重难点5三角恒等变换与三角函数性质的结合 【例9】（多选）已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．直线是图象的一条对称轴 【例10】（多选）已知函数，则（    ） A．曲线的对称轴为 B．在区间上单调递增 C．的最大值为 D．在区间上的所有零点之和为 【变式5-1】已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题． (1)求的值； (2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围． 条件①：对任意的，都有成立； 条件②：； 条件③：． 【变式5-2】已知函数的最小正周期. (1)求函数 的解析式； (2)求函数 的单调区间； (3)求不等式的解集. 【变式5-3】已知函数 (1)若，求函数的值域． (2)若是第一象限角，求的值 ①看三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ②看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” ③分析结构特征，找到变形的方向,常见的有 “整式因式分解”“次式配方”等 重难点6三角恒等变换的实际应用 【例11】把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（    ）． A． B． C． D． 【例12】古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【变式6-1】如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．    【变式6-2】如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    1．设，，则等于（    ） A． B．