6.3.2 二项式系数的性质（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 必备知识·基础落实 问题导入 　（a＋b）n的展开式的二次项系数，当n分别取1，2，3，4，5，6时可以表示成如下形式： 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 提示：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n. 问题3：二项式系数的最大值有何规律？ 提示：n＝2，4，6时，中间一项最大，n＝3，5时中间两项最大. 微梳理 要点一　二项式系数的性质 性质 内容 对称 性 在（a＋b）n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝ 增减 性与 最大 值 增减性 当k＜时，随k的增加而增大； 当k＞时，随k的增加而减小 最大值 当n是偶数时，中间的一项取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值 各二 项式 系数 的和 ①＋＋＋…＋＝2n； ②＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 要点二　杨辉三角 1.概念 在探究（a＋b）n的展开式的二项式系数性质时，我们曾把系数写成一张表（图1），借助它发现了系数的一些规律.事实上，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表.所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示（图2）的.我们称这个表为杨辉三角. 2.特点 （1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等. （2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即＝＋. 思考：系数最大的项一定是二项式系数最大的项吗？ 提示：系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）二项展开式中系数最大项是中间一项（共奇数项）或中间两项（共偶数项）. （　　） （2）二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和. （　　） （3）二项展开式项的系数是先增后减的. （　　） （4）杨辉三角中每行（除第一行外）两端的数都是1. （　　） 解析：（1）错误.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项（共奇数项）或中间两项（共偶数项），但是项的系数的最大值与项的其他数字因数的大小有关. （2）错误.在二项式（a＋b）n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和. （3）错误.二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关. （4）正确.根据杨辉三角的特点可知说法正确. 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　二项展开式中系数的最值问题 【例题1】已知二项式. （1）求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）求展开式中系数最大的项. 解析：（1）二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，因此由T5＝·24·x4＝x4，可知此项的系数为. （2）由题意设二项展开式的第r＋1项的系数最大，则解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项，即T8＝·27x7＝28x7，T9＝·28x8＝28x8. 规律总结 求二项展开式系数最大的项的方法 （1）求二项式系数最大的项：若n是偶数，则中间一项，即第项的二项式系数最大，即最大值是；若n是奇数，则中间两项，即第项与第项的二项式系数相等且最大，即＝且最大. （2）求展开式中系数最大的项：如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第（r＋1）项系数最大，应用解出r，即得系数最大的项. [注意]二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是组合数，仅与二项式的指数及项数有关，一定为正，而项的系数与二项式的指数、项数及字母的系数均有关，可正可负. 【变式1】（1）在（2－3x）15的展开式中，二项式系数的最大值为（　　） A. B. C.－ D.－ （2）的展开式中，系数最大的项为（　　） A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项 解析：（1）（2－3x）15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为＝.故选B项. （2）展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝·x5＝－中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小.而T5＝x6·＝x2，T7＝x4＝x－2，且＝.所以系数最大的项为第5项和第7项.故