2.1 从位移、速度、力到向量4种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.1从位移、速度、力到向量4种常见考法归类 课程标准 学习目标 (1)通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． (2)理解平面向量的几何表示和基本要素． 1.通过对位移、速度、力的分析，了解平面向量的实际背景； 2.理解向量的概念、基本要素及向量的几何表示. 3.理解零向量和单位向量的概念. 4.理解平行向量、共线向量、相等向量的概念； 5. 能够能够掌握它们之间的联系与区别. 知识点01 向量的相关概念 向量的概念 在数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量． 有向线段 具有方向和长度的线段称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作． 向量的模 向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0. 单位向量 模等于1个单位长度的向量，称为单位向量． 共线向量 两个非零向量a，b的方向相同或相反称这两个向量为共线向量或平行向量，记作a∥b 规定：零向量与任一向量共线． 相等向量 长度相等且方向相同的向量称为相等向量． 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量． 注：共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 【即学即练1】（2024下·全国·高一专题练习）判断下列结论是否正确. （1）若与都是单位向量，则；( ) （2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；( ) （3）直角坐标平面上的轴，轴都是向量；( ) （4）若与是平行向量，则；( ) （5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；( ) （6）海拔、温度、角度都不是向量. ( ) （7）任何两个向量均不可以比较大小.( ) 【即学即练2】（2024下·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 【即学即练3】（2024下·江苏宿迁·高一校考开学考试）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【即学即练4】【多选】（2024下·全国·高一专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【即学即练5】（2024下·广东东莞·高一校考开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与共线 知识点02 向量的表示 1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． 2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑体a，书写用. 注：1.理解向量概念应关注三点 (1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． (2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素． (3)向量与向量之间不能比较大小． 2．相等向量的理解 任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定． 3．向量与有向线段的关系 如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段． 4．向量与数量的区别 (1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向； (2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有||>||也不能说>，特殊地，若向量与是相等向量，记作＝； (3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量． 【即学即练6】（2024下·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【即学即练7】（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)，点A在点O北偏西45°方向； (2)，点B在点O正南方向． 知识点03　向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，(如图)． 则θ＝∠AOB(0°≤θ≤1