第六章 图形的相似 专项复习 证比例式或等积式的技巧训练课件2023-2024学年苏科版九年级数学下册

第六章 图形的相似 专项复习 证比例式或等积式的技巧训练 苏科版 九年级下册 九年级数学（下）提分专项训练 典 例 剖 析 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F. 求证：AC·CF＝CB·DF. 例 典 例 剖 析 解题秘方： 典 例 剖 析 证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高， E为CB的中点，∴CE＝EB＝DE. ∴∠B＝∠BDE＝∠FDA. ∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∴∠FDA＝∠ACD. 又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD. 技巧 构造平行线法 1 分 类 训 练 1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F. 求证：AE·CF＝BF·EC. 分 类 训 练 2. 技巧 三点定型法 2 分 类 训 练 3.如图，在等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N. 求证：BP·CP＝BM·CN. 技巧 构造相似三角形法 3 技巧 等比过渡法 4 分 类 训 练 4.如图，P是▱ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N. 求证：AM2＝MN·MP. 分 类 训 练 5. 技巧 两次相似法 5 分 类 训 练 6. [2023·泰州二中模拟]如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证： (1)△AMB∽△AND； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°. ∴△AMB∽△AND. 分 类 训 练 7.如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D. 求证：CE2＝DE·PE. 技巧 等积代换法 6 分 类 训 练 8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F. 求证：BP2＝PE·PF. 技巧 等线段代换法 7 本题用“三点定型法”找相似三角形，即将待证的等积式化为比例式＝. 横看：比例式的两个分子中的字母对应的点是A，C，D，F. 竖看：比例式的左端所含字母对应的点构成△ABC，比例式的右端所含字母对应的点构成△DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故需要找一个中间比来联系和. ∴＝. ∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△CBD.∴＝. ∴＝，即AC·CF＝CB·DF. 证明：过点C作CM∥AB，交DF于点M. ∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.∴＝. 又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴＝. ∵D为AB的中点，∴BD＝AD.∴＝. ∴＝，即AE·CF＝BF·EC. [2023·厦门双十中学模拟]如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F. 求证：＝. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥DC，∠A＝∠C. ∴∠CDF＝∠E. ∴△FCD∽△DAE.∴＝. 证明：如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP.∴＝，即BP·CP＝BM·CN. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DN，AD∥BP. ∴△AMB∽△NMD，△BMP∽△DMA. ∴＝ ，＝ . ∴＝.∴AM2＝MN·MP. [2023·武汉十一中月考]如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F. 求证：＝. 证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°. ∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE. ∴△BDF∽△BAE.∴＝. ∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA. ∴△ABC∽△DBA.∴＝.∴＝. (2)＝. 证明：由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， AD＝BC，∴＝.∴＝. ∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠MAD＝∠AMB＝90°. ∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°. ∵∠BAM＝∠NAD，∴∠B＝∠MAN. 又∵＝，∴△AMN∽△BAC. ∴＝. 证明：∵BG⊥AP，∴∠AGB＝90°. ∵CE是Rt△ABC斜边上的高，∴PE⊥AB， ∴∠AEP＝∠DEB＝90°＝∠AGB. ∴∠P＋∠P