2.4.1 二次函数的应用 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

北师大版：九年级下册 2.4.1二次函数的应用 一最大面积问题 宿州十一中丁宇 情境导入 如图，在一面靠墙（墙长20米）的空地上用长为24米的篱笆，围成一个长 方形花圃，设花圃的宽为X米，面积为S平方米.当X取何值时所围成的花 圃面积最大，最大值是多少？ I 学习目标 1.经历求最大面积等问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化 的数学模型，感受数学的应用价值。 2.能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次 函数知识求出实际问题的最大（小）值。 温故知新 我们知道，利用一次函数和反比例函数可以解决实际问题，同样也 可以利用二次函数来解决实际问题。 那么我们如何利用二次函数解决实际问题呢？ 求下列函数的最大值或最小值. (1)y=2x2-3x-5; (2)y=-x2-3x+4. 3、249 2 1)y=2(cx- 3 -8 (2)y=-(x+2)+ 25 4 当时= 49 25 8 当=时大= 探究活动（一） 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上. D (1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度 如何表示？ (2)设矩形的面积为ycm2,当x取何值时，y的 B 40cm 值最大？最大值是多少？ 思考： △CBF与△EAF有什么关系？有何启发？ 解：（1)，AB=x,则BF=40-×. .BC∥AD, ∴.△BCF∽△AEF」 BF BC 即 40-x BC AF AE 40-30 :.BC=3(40-x)=4D 40-x B 4 40cm 3 (2) 由面积公式易得：y=ABAD=·4(40-) 期=-子2+30c=-6x-20)2+30.(0<x<40) 所以，当x=20时，y的值最大，最大值为300 即当AB为20cm时，矩形ABCD的面积最大为300cm2 变式探索 议一议：在上面的问题中，把矩形改为如右 M 图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最 B 大面积是多少？ N 思考：类比原题的方法，能否利用相似表示AD? A40cm 思路分析：过点O作OM⊥EF交于AD与点N,由勾股定理易得 EF=50cm,利用面积法可得0M=24, 设AB=x,则MN=AB=x,易得0N=24-x,由△AOD∽△F0E得， ON AD 即24-x 50,4D=50-25 A 2 x易得y=ABAD=x(50- 250r 25 OMEF 24 20)= 化顶点式为： y= 2 12(x-12)2+300 所以当x=12时，y取最大值为300. 做一做 解：，7x+4y+x=15 何时窗户通过的光线最多 15-7x-x 某建筑物的窗户如下图，它的上半部 ∴.y= 4 是半圆，下半部是矩形，制造窗框的 材料总长（图中所有的黑线的长度 0<x<15,且0<15-7-m<15, 4 和)为15m.当×等于多少时，窗户通过 .0<x<1.48. 的光线最多（结果精确到0.01m)?此 设窗户的面积是Sm2,则 时，窗户的面积是多少？ S=m2+2y=a2+2x15-7m 4 225 56 y 当x= ≈107时，S大=256 15 225 ≈4.02 141 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.面积约为4.02m2 归纳小结 利用二次函数求解面积问题的步骤： 第一步：设自变量： 第二步：建立函数的表达式： 第三步：确定自变量的取值范围： 第四步：根据顶，点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在 自变量的取值范围内). 当堂训练 1.用长为8m的铝合金材料制成的形状为矩形的窗框，则窗框的透光面 积最大为多少(D 64 10 A B 15 D4cm2 2.如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩 形羊圈ABGD,已知房屋外墙长50m,设矩形ABCD的边ABm,面积为Sm2. (1)写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围： (2)当AB,BC分别为多少时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ (1)S=x(80-2x)=-2x2+80x,其中15≤x<40: (2)S=-2(x-20)2+800 B 当AB=20m,BC=40m时，羊圈的面积最大最大值为800m2.