专题02 余弦函数的图像与性质（考点解读+考点归纳+10类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 专题02 余弦函数的图像与性质 本章将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数还具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质； 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质； 【本章内容提要】 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【附】图像特征 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图像 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 1、余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图像叫余弦曲线； 2、余弦函数图像的画法 （1）要得到y＝cos x的图像，只需把y＝sin x的图像向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin； (1)变换法：根据诱导公式sin＝cos x及函数图像平移知识，得将y＝sin x的图像向左平移个单位得到y＝cos x的图像，余弦曲线如图所示． （2）用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图像时， 所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接； 3、余弦函数的性质 （1）周期性 ①函数y＝cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π； ④函数y＝Acos (ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； 类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)，容易得出． （2）值域与最值 定义域：R； 值域：[－1,1]； 最值：x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1； 【说明】有关余弦函数最值： ①明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1； ②对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定； ③形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acos z的形式最值； （3）奇偶性 ①余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称； ②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形； （4）单调性 在 [(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；在 [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减； ①余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间． ②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． ③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断． 4、正弦函数y＝cosx的图像特征 图像 对称性 对称中心 ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ，k∈Z 题型1、会用“五点法”作余弦相关函数的图像 例1、（1）用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π　 B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【说明】注意利用“五点法”结合“代换法”，画正弦型函数的图像； （2）用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的