精品解析：上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷

上师大附中高三数学 2024.03 一.填空题 （第1-6题每题4分， 第7-12题每题5分， 满分54分） 1. 复数的虚部是______ 2. 双曲线的焦距为_______________. 3. 若抛物线焦点到它的准线距离为1，则实数m=______ 4. 若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____． 5. 已知两个单位向量满足则的夹角为______ 6. 设函数定义域为，满足，当时，，则______ 7. 设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的体积为______ 8. 已知函数，则______． 9. 已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为___________． 10. 如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是_________． 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是______. 12. 已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为__________ 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知集合，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 15. 在中，角，，所对边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 16. 在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三.解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. （1）已知，求的值． （2）已知中，，且，判断形状，并说明理由． 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足． （1）求证：AF⊥DB； （2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角． 19. 某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次. （1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差； （2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率. 20. 已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B． （1）当时，求到 l 的距离； （2）若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴； （3）设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 21. 已知函数，，令 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当a为正数且时，，求a最小值； （3）若对一切都成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上师大附中高三数学 2024.03 一.填空题 （第1-6题每题4分， 第7-12题每题5分， 满分54分） 1. 复数的虚部是______ 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据复数除法法则化简即得结果. 【详解】因为，所以虚部为. 故答案为： 2. 双曲线的焦距为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，，之间的关系即可求出． 【详解】由已知=1，=4，所以=5，所以焦距为，故答案为． 【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题． 3. 若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=______ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线性质得