第18章平行四边形18.2 .1 矩形（二）-2023-2024人教版八年级数学下册分层优化堂堂清

2023-2024人教版八年级数学下分层优化堂堂清 第18章 平行四边形 18.2 .1 矩形（二） 学习目标： 1. 理解并掌握矩形的判定定理。 2. 能够应用矩形的定义、判定定理等知识，解决简单的证明题和计算题。 一、基础提升 教材核心知识点精练 知识点一、矩形的判定定理1 1. 定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点拨： 1. 矩形的定义也是矩形的判定方法之一，题中有一个直角，又是平行四边形时注意应用定义判断。 2. 判定定理1有两个条件；（1）对角线相等（2）平行四边形。 方法点拨： 矩形的判定定理1的推理证明是依据矩形的定义推理得到的，证明过程借助了三角形全等证明其中一个内角是90°，矩形的判定定理1可以拓展为①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，②两组对边平行且对角线相等的四边形是矩形。 例1-1．下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（　　） A．对角线相等且互相平分的四边形 B．有一组邻角相等的平行四边形 C．对角线相等且垂直的四边形 D．有一组对角互补的平行四边形 例1-2．如图，已知平行四边形的对角线、相交于点O，，，两动点E、F同时分别以的速度从点A、C出发在线段上运动，    (1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形一定为平行四边形； (2)设E、F的运动时间为，则当t为何值时，四边形为矩形． 例1-3．已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． (1)求证：； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 4．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接、，延长、交于点F，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在不添加辅助线的条件下，请直接写出图中四个三角形且其面积为矩形的面积的四分之一． 解题策略 证明四边形是矩形时，已知对角线相等时，只需证明四边形是平行四边形，已知四边形是平行四边形时只需证明对角线相等。 知识点二、矩形的判定定理2 1.有三个角是直角的四边形是矩形。 知识点拨 该定理是从角的方面判定矩形的，其中要求①内角个数3个②三个内角都是90°③四边形。 方法点拨 判定一个四边形是矩形的方法①定义：一个角是直角的平行四边形，②对角线：对角线相等的平行四边形③角：三个直角的四边形 例2-1．下列说法正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．四个角都是直角的四边形是矩形 例2-2．如图，小强用薄橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　） A．测量其中的三个角是否都为直角 B．测量两组对角是否相等 C．测量两组对边是否相等 D．测量对角线是否相等 例2-3．如图．中，的垂直平分线分别交于点D、F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积是 知识点三、综合应用矩形的性质判定计算证明 例3-1．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103-104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】（1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】（2）如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，则，则为________度． 【拓展提高】（3）如图③，在中，，，恰好是中线，则的度数为________度． 例3-2．如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．    例3-3．在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 解题技巧 利用矩形的性质和判定解决问题，一般先判定四边形是矩形，再根据矩形的性质解决其他问题。 2、 能力提升 能力强化提升训练 1．如图，要使平行四边形为矩形，则可添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，