专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。 例1．（2023·山西运城·九年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 例2．（2023·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（    ）    A． B． C．10 D． 例5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形中，点为的中点．点为对角线上的一动点．则的最小值等于（）    A． B．6 C． D．8 例6．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．    例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ． 模型2. 求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短。 例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决： 例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________； 例4．（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 模型3.求两条线段差最大值 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大， 因此点P为所求的点。 （2）点A、B在直线m异侧： 过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边。 例1．（2023·四川成都·七年级统考期末）四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，点M、N分别为BD、BC的中点，点P、Q分别是线段AB、MN上的动点，则AP﹣PQ的最大值为 ． 例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边