专题05 指数函数与对数函数的应用-【中职专用】高一数学同步必备知识清单（高教版2021•基础模块 下册）

专题05 指数函数与对数函数的应用 1. 形如 ()的函数是指数型函数模型. 2.两种函数的的性质及增长速度比较 【题型1 指数型函数的实际应用】 【题型2 对数函数在实际问题中的应用】 【题型1 指数型函数的实际应用】 知识点：形如 ()的函数是指数型函数模型. 例1. 统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 倍（结果精确到个位）. 例2. 已知一个国家的人口增长率与其当时人口数成正比，比例为，若一个国家现有人数为．问需要多长时间人口数可以变为现在的两倍？（附：，） 例3. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作. 【题型训练1】 1．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”我市为深入贯彻习总书记绿色发展理念，把生态文明建设融入各方面建设过程中去，努力打造生态森林，对森林内的天然林和人工林进行保护性开采．其中一片人工林地，目前可采伐的木材有万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为，则经过 年，该片森林可采伐的木材将增加到万立方米.（结果保留整数） 2.按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量最大值为万吨． (1)求的解析式； (2)按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内？（参考数据，，） 3.我国研究人员屠呦呦发现从青蒿中提取的青蒿素抗虐性超强，几乎达到100%，据监测：某药物服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．    (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？ 4.一片森林原面积为，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的. (1)求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？ 【题型2 对数函数在实际问题中的应用】 知识点：函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞)． 例4. 地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（    ）倍（参考数据：） A．110 B．115 C．120 D．125 例5. 西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 . 例6. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）间的关系为（均为非零常数，为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过过滤后还剩余的污染物. (1)求常数的值; (2)试计算污染物减少到至少需要多长时间.（精确到） （参考数据：，，，，） 【题型训练2】 1．中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度