第五章 7 切线长定理（1）(夹册)(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(鲁教版五四制)

年级下册·鲁教版 数学 第五章　圆 7　切线长定理（1） 如图所示，P为☉O外一点，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C在☉O上，连接OA，OC，AC，BC，延长OC交BP于点D. （1）求证：2∠CBD＋∠ODB＝90°. 解：（1）证明：如图①所示，连接BO并延长交☉O于点E，连接CE. 由圆周角定理，得∠BCE＝90°，∠BOC＝2∠BEC，∴∠CBE＋∠BEC＝90°. ∵PB是☉O的切线，∴∠OBP＝90°，即∠CBE＋∠CBD＝90°， ∴∠BEC＝∠CBD，∴∠BOC＝2∠CBD.又∵∠BOC＋∠ODB＝180°－∠OBD＝90°， ∴2∠CBD＋∠ODB＝90°. （2）连接OB，若AC∥OB，☉O的半径为3，CD＝2，求AP的长. 解：（2）如图②所示，延长AC交PB于点M. ∵☉O的半径为3，CD＝2，∴OB＝OC＝3，OD＝5.∵∠OBP＝90°，∴BD＝＝4. ∵AC∥OB，∴△DCM∽△DOB，∠AMP＝∠OBP＝90°，∴＝，即＝，解得DM＝. ∵PA，PB是☉O的切线，∴∠OAC＋∠PAM＝90°，PA＝PB， 设AP＝BP＝x，则PM＝BP－BM＝BP－＝x－. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝∠DCM.∵∠DCM＋∠ODB＝90°，∴∠PAM＝∠ODB.在△PAM和△ODB中，∴△PAM∽△ODB，∴＝，即＝，解得x＝6，所以AP的长为6. $$