专题04 平面向量的数量积及其应用（六大题型,重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题4 平面向量的数量积及其应用 知识点一．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点二．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 知识点三．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 知识点四．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 题型一：平面向量的数量积运算 例1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 例2．（2024上·河南周口·高三项城市第一级中学校联考期末）已知向量在向量上的投影向量，且，则 . 变式1．（2024上·山东青岛·高三统考期末）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 变式2．（2022·全国·模拟预测）已知，则夹角的余弦值为 . 题型二：夹角 例3．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则向量与夹角的余弦值为 ． 变式3．（2023下·新疆喀什·高一统考期中）已知向量，，则与的夹角为 . 变式24．（2023·四川成都·统考一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 题型三：模长 例5．（2024上·全国·高三校联考竞赛）平面向量，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 例6．（2022下·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）已知向量，，若，则（    ） A．5 B． C． D．10 变式5．（2024上·广东·高三统考期末）已知向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 变式6．（2023下·山东淄博·高一统考期末）已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A．2 B． C．1 D． 题型四：投影与投影向量 例7．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知，，则在上的投影向量的坐标为 ． 例8．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式7．（2024上·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 变式8．（2023上·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的坐标为 ． 题型五：平行与垂直 例9．（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知向量，且，则实数的值为 ． 例10．（2016·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）已知向量，，若与平行，则m的值是 ． 变式9．（2022上·河南·高三专题练习）已知向量，且，则 ． 变式10．（2023下·四川绵阳·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则实数m的值为 . 题型六：平面向量的综合应用 例11．（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ． 例12．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．2 变式11．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）向量，且，则 ． 变式2．（2022下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形AB