6.1.3基本初等函数的导数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

6.1.3基本初等函数的导数 由于在科学研究和工程计算中，经常要使用一些基本初等函数的导数，为了方便并减少重复的劳动，数学工作者早已制作出常用函数的导数公式表，供大家使用. 下面我们就来认识导数公式表! 1.能根据导数的定义推导常数函数与幂函数的导数.（重点） 2.掌握基本初等函数的导数公式表，会利用导数公式表求导数. （重点） 3.会求曲线的切线方程. (难点） 思考1：已知函数，任取一个实数，判断在处是否可导，如果可导，求出. 探究点1:导函数 思考2：当的取值变化时，请观察与有什么关系？ 随着变化而变化，而且对的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应. 这就说明，是的函数. 一般地，如果函数在其定义域内的每一点x都可导，则称可导. 此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数. 于是在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为函数的导函数，记作：(或， )，即 =. 导函数也简称为导数. 导函数的定义 导函数通常简称为导数.今后，如不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数. 例如，思考1中函数，其导函数为 . 追问：函数在处的导数是多少？ 函数在处的导数即为的值，只需将代入导函数的表达式即可，即. 如果已知函数的导函数是，那么可以方便地求得这个函数在处的导数. 这也说明，如果函数的导函数存在，那么曲线在每一点处的切线都存在. 探究点 2：常数函数与幂函数的导数 例 1.分别求出下列函数的导数，并说说导数的意义. （1），其中是常数； 思考： 的几何意义是什么？ 常数函数在任何一点处的切线的斜率都是0 . x O = C （2）； 思考： 的几何意义是什么？ 函数在任何一点处的切线的斜率都是1. x O = x （3）； 即 在曲线上，自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；时，自变量越大，切线的斜率越大，也越大，函数增加得越来越快. （4）； （5）. = 常数函数与幂函数的导数 改写成幂指数形式 由此推测,对任意的幂函数 ,都有： 【总结】 例 2.已知，求 以及曲线在点(4，)处的切线方程. 解：因为 所以 又因为 所以切线的方程为 ， 即 探究点4:基本初等函数的导数公式表 下表列出了一些常用函数的求导公式，其中C，，均为常数，且. ， ， ， ， ， . 填一填： 例 3.已知函数，求，. 解：在 ，中令， ， 因此 在 ，中令， ， 即(，因此. ( 例 4. 求曲线在处切线的切线方程. 解：因为， 所以切线的斜率为， 又因为， 所以切点为(0，0)， 因此切线的方程为 ， 即 例 5.已知函数， 而是曲线的切线，且经过点(2，3). （1）判断(2，3)是否是曲线上的点； （2）求的方程. 解： (1)因为，所以点(2，3)不是曲线上的点. (2)设切点为， 因为，所以切线的斜率为， 又因为，所以切点为(，)， 因此直线的方程为. 将(2，3)代入上式并整理，可得，解得 或 将取值回代，切线方程为或 ， 即的方程为或 求解步骤： ①求导，将切点代入得切线得斜率； ②求切点坐标； ③用点斜式写切线方程并化为一般式. 【总结】 (1)求曲线“在”某点处的切线方程 “在”某点的切线就意味着该点一定是切点. (2)求曲线的切线“过”某点的切线方程 切线“过”某点就意味着该点不一定是切点. 求解步骤: ①设出切点； ②求导，将切点代入切线得斜率； ③求切点坐标； ④用点斜式写出含未知数的切线方程； ⑤将切线经过的点代入方程求得未知数； ⑥再将未知数回代，整理得到切线方程. 已知曲线的切线经过点(3，)，求切线方程. 跟踪训练： 解：设切点为， 因为，所以切线的斜率为， 又因为，所以切点为(，)， 因此直线的方程为， 将(3，5)代入上式并整理，可得，解得 或 将取值回代，得切线方程为或 ， 即的方程为或 基本初等函数的导数 导函数 导数公式表 求切线方程 在某点的 切线方程 过某点的 切线方程 $$