奔驰定理 课件-2024届高三数学一轮复习

奔驰定理 奔驰定理 若O为内任意一点，则 . 证明： 法一： 若点O为的重心，则， 设，， 则，， 证明： 法一： 若点O为的重心，则， 设，， 则，， ∴ 同理，= 证明： 法一： 若点O为的重心，则， 设，， 则，， ∴ 同理，= 则 证明： 法一： 若点O为的重心，则， 设，， 则，， ∴ 同理，= 则 即 证明： 法二： ； , ∴ ∴ 整理得. 证明： 法二： ； , ∴ ∴ 整理得. 证明： 法二： ； , ∴ ∴ 整理得. 证明： 法二： ； , ∴ ∴ 整理得. 奔驰定理在四心中的表现形式 若O为的重心，则 若O为的外心，则 若O为的内心，则 若O为的垂心，则 直接使用奔驰定理 01 利用奔驰定理解决四心问题 02 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点） 03 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点） 04 目录 √ √ √ √ 01 直接使用奔驰定理 01 直接使用奔驰定理 例1 已知O是内的一点，若，，的面积分别记为，，，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是的垂心，且，则（ ） A.1:2:3 B.1:2:4 C.2:3:4 D.2:3:6 A 01 直接使用奔驰定理 变式1 （多选）如图，P是内任意一点，角A,B,C的对边分别是，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ） A.若P是的重心，则有 B.若，则P是的内心 C.若，则 D.若P是的外心，且，则 ABD 02 利用奔驰定理解决四心问题 02 利用奔驰定理解决四心问题 例2 在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边分别为，现有，则O为的____心. 内 02 利用奔驰定理解决四心问题 变式2 奔驰定理：已知O是内的一点，若的面积分别记为，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O是锐角内的一点，A,B,C是的三个内角，且点O满足，则必有（ ） A. B. C. D. C 03 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点） 03 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点） 例3 已知O是内的一点，，若与的面积之比为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. D 03 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点） 变式3 O为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. A 04 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点） 04 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点） 例4 已知点A,B,C,P在同一平面内，，则等于（ ） A. B.19:4 C. D. B 04 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点） 变式4 如图，设P,Q为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. B $$