专题10 构造三角形中位线的六种常见辅助线-2023-2024学年八年级数学下册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教版）

专题10 构造三角形中位线的六种常见辅助线（原卷版） 第1部分 专题典例剖析及针对训练 类型一 连接第三边构造中位线 【典例1】如图，△ABC和△DBE是等边三角形，A，B，D三点在一条直线上，M，N，O分别为CE，AD，AC的中点． （1）求证：OM＝ON； （2）求∠MON的度数． 【变式训练】 1．（2022春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 2．（2023•郧阳区模拟）如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后变小 3．（2023春•江夏区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长． 4．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点．请你探索DG与EF的位置关系和数量关系，并说明理由． 类型二 连接两中点构造中位线 【典例2 】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，P是AC的中点，N是BC的中点，M是AD的中点，∠BAC＝80°，∠ACD＝20°． （1）求∠PMN的度数；（2）求的值． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的两点，连接DN，EM，线段DN，EM相交于点G．若AB＝5，BC＝8，DE＝4，则△DGE的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 类型三 取中点构造中位线 （1）直接取一边中点 【典例3】（2023春•上城区期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上． （1）求证：E为CD的中点； （2）若AD＝3，BE＝4，求AE的长； （3）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG． 【变式训练】 1．（2021•南阳模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 2．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，AD＝2，BC＝4，则EF的取值范围是　 　． 3．（2023•景县校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P，Q分别是AB，A1C1的中点，PQ的值不可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 （2） 连接对角线，再取对角线中点 【典例4】（2022春•青山区期末）如图，四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，且AD＝6，BC＝10，则线段EF的长可能为（　　） A．7 B．8.5 C．9 D．10 类型四 延长一边构造中位线 【典例5】（2022春•新洲区期中）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝12，AC＝6，求DF的长． 【变式训练】 1．如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点． （1）求证：BF∥CE； （2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长． 2．（2022春•东光县期中）如图，在△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE． （1）DE与AC的位置关系是 　 ； （2）若AB＝3，AC＝5，则DE＝　 　． 类型五 延长两边构造中位线 【典例6】（2022秋•招远市期末）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝9，BC＝4，则EF的长为 　 　． 【变式训练】 1．如图1，在△AFG中，FD、GE分别是△AFG的外角平分线，AD⊥FD于点D，AE⊥GE于点E． （1）探究证明： ①DE与FG的位置关系是 　 　； ②判断DE与AF、AG、FG之间的数量关系，并说明理由． （2）问题解决： 如图2，在△ABC中，AD⊥BD于点D，∠BAD＝∠CAD，AB＝6cm，AC＝10cm，点H是BC的中点，直接写出DH的长． 类型六 作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线 【典例7】 （2023春•遵义期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞7，点D，E分别