专题07 利用勾股定理解决最值问题-2023-2024学年八年级数学下册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教版）

专题07 利用勾股定理解决最值问题（原卷版） 类型 一 垂线段最短 （一）通过轴对称转化为“垂线段最短” 1．（2021•武进区自主招生）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 2．（2020•皇姑区一模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是　 　． 3．（2021秋•崇川区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM+MN取最小值时△BMN的周长为 　 　． 4．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为 　 ． （二）通过证明点的运动路径为线段或直线，转化为“垂线段最短” 5．（2021•罗湖区模拟）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是　 ． 6．（2023•武山县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是　 　． 类型二 两点之间，线段最短 （一）通过轴对称转化为“两点之间，线段最短”及延伸 7．如图，已知∠AOB＝30°，点P，Q分别是边OA，OB上的定点，OP＝3，OQ＝4，点M，N分别是边OA，OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是（　　） A．5 B．7 C．1 D．10 8．（2021秋•上高县月考）如图1，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，则PA+PB＝A’B的值最小．（不必证明）应用： （1）如图2，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交于AC于P，则PB+PE的最小值是 　 ． （2）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值． （二）通过平移转化为“两点之间，线段最短” 9．（2023春•鞍山期末）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是 　 米． （三）通过构造全等转化为“两点之间，线段最短” 10．（2023秋•鲅鱼圈区期末）如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为 　 　． （四）费马点问题 11．（2023秋•慈溪市月考）如图，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 　　． 类型三 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 12．如图△ABC中，AB＝AC，P为外部一点，且PA＝2，PC＝1，若∠BAC＝120°，则BP的最大值为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 利用勾股定理解决最值问题（解析版） 类型 一 垂线段最短 （一）通过轴对称转化为“垂线段最短” 1．（2021•武进区自主招生）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 【思路引领】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴M′H＝M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB＝6，∠BAC＝45°， ∴BH＝AB•sin45°＝63． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝