2.7 正方形（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

2.7 正方形 第2章 四边形 优翼八下数学教学课件（XJ） 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 导入新课 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 新课讲授 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 证明：∵四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°， AB = AD (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形(矩形的定义)， 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证一证 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形 ABCD 是矩形， ∴AO = BO = CO = DO. ∵正方形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此： 知识要点 A B C D 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四 个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证： △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的 等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 典例精析 例2 如图，在正方形 ABCD 中， △BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴BE = CE = BC，∠EBC = ∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB = BC = CD，∠ABC = ∠DCB = 90°. ∴AB = BE = CE = CD，∠ABE=∠DCE=30°. ∴△ABE，△DCE是等腰三角形. ∴∠BAE = ∠BEA = ∠CDE = ∠CED = 75°. ∴∠EAD = ∠EDA = 90° - 75° = 15°. 【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形ABCD 的一边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当等边△ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°， ∴∠AEB ＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°. 当等边△ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30°或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE 在正方形的外部或在正方形的内部． 【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC = ∠DCB = 90°． ∵PB = PC， ∴∠PBC = ∠PCB．