19.2.1 第2课时 菱形的性质与其他几何图形性质的综合（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

19.2 菱形 第19章 矩形、菱形与正方形 第2课时 菱形的性质与其他几何图形性质的综合 1. 菱形的性质 优翼八下数学教学课件（HS） 问题:什么样的四边形是菱形？它有哪些性质呢？ 复习引入 菱形的性质： 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD). 菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD). B C O D 菱形的定义： 有一组邻边相等的 平行四边形 A 导入新课 A B D C a h (1) 平行四边形的面积计算公式：S = a·h. (2) 菱形的面积计算公式：S = S△ABD+S△BCD = AO·DB + CO·DB = AC·DB. O 菱形的面积及其他相关计算 新课讲授 菱形的面积计算是否放到第1课时更好,因为主要运用菱形的性质而不是判定 3 例1 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2 cm，∠BAD＝120°，对角线 AC、BD 相交于点 O.试求这个菱形的两条对角线 AC 与 BD 的长. 解：在菱形 ABCD 中， ∵∠ABC+∠BAD＝180°， 　∠BAD＝120°，∴ ∠ABC＝60° 又∵AB＝BC，∴ △ABC 是等边三角形. ∴AC＝AB＝2 在Rt△ABO 中，AB＝2，AO＝1, 典例精析 C B D A O 例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01 m 和 0.1 m2）. A　 B　 C　 D　 O　 解：∵ 花坛 ABCD 是菱形， 【变式题】如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，周长是 8 cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 解：（1）∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC. ∴∠ABC +∠BAD = 180°. ∵∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2， ∴∠ABC = ×180° = 60°. ∴ △ABC 是等边三角形，∠ABO = ∠ABC = 30°. ∵ 菱形 ABCD 的周长是 8 cm，∴ AB = 2 cm. ∴ OA = AB = 1 cm，AC = AB = 2 cm. ∴ BD = 2OB = cm . = ×2× = （cm2）． 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形求解，当菱形中有一个角是 60° 或 120° 时，菱形可被较短的对角线分为两个等边三角形. 归纳 （2）S菱形ABCD = AC•BD 例3 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O，AE 垂直平分 CD，垂足为点 E.求∠BCD 的大小. 解：在菱形 ABCD 中，AD＝DC， ∵AE 垂直平分 CD， ∴AC＝AD，∴AD＝CD＝AC， ∴△ACD 是等边三角形. ∴∠ACD＝60°， 在菱形 ABCD 中， ∵∠BCD＝2∠ACD，∴∠BCD＝120°. 例4 如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且AB = AE，AE 交 BD 于 O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB. A B C D O E 证明：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠DAE＝2∠ADB ，  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE . 1. 已知菱形的周长是 24 cm，那么它的边长是____cm. 2. 如图，菱形 ABCD 中∠BAD＝120°， 则∠BAC＝_____°. 6 60 3. 如图，菱形的两条对角线长分别为 10 cm 和 24 cm，则菱形的边长 是（ ） C A. 10 cm B. 24 cm C. 13 cm D. 17 cm A B C D O 当堂练习 4. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，OB = OD