2024年九年级数学寒假 讲案 -二次函数面积与角

二次函数面积与角 一、二次函数面积最值 ★★☆例题1．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ★★☆练习1．如图，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，当时，试确定的值，使得的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点的点，满足，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ★★☆练习2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点，且对称轴为直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是第四象限内抛物线上的一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，当时，直接写出点的坐标． ★★★例题2．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点、同时从点出发，点以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，点以每秒2个单位的速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，连接、，求的最大面积； （3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为，问：是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请简明说明理由． ★★★练习1．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，连接、． （1）请直接写出二次函数的表达式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若点在轴上运动，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点的坐标； （4）若点在线段上运动（不与点、重合），过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标． ★★★例题3．已知抛物线经过点、，与轴交于点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ★★★练习1．已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和，两点的坐标； （2）如图1，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标． 二、二次函数角度问题 ★★☆例题1.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，经过，两点的抛物线与轴的正半轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若为线段上一点，，求的长； （3）在（2）的条件下，设是轴上一点，试问：抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ★★☆练习1．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与二次函数的图象在第一象限内交于点． （1）求此一次函数与二次函数的表达式； （2）若点在线段上，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点坐标． ★★☆例题2.如图，抛物线与轴的两个交点分别为，，与轴交于点，点在轴正半轴上，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线的顶点为点，对称轴交轴于点，连接，，请在抛物线的对称轴上找一点，使 ，求出点的坐标； （3）如图2，过点作轴，交抛物线于点，连接，点是轴上一点，在抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ★★☆练习1．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与直线分别交轴的正半轴于点和第一象限的点，连接，得为坐标原点）．若抛物线与轴正半轴交点为点，设是点，间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为． （1）直接写出点的坐标和抛物线的解析式； （2）当为何值时，面积取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足的点的坐标． ★★☆练习2．如图，抛物线与两坐标轴相交于点、、，是抛物线的顶点，是线段的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标； （2）是抛物线上的动点： ①当，时，求的面积的最大值； ②当时，求点的坐标． ★★★例题3．如图，抛物线经过，，三点，为直线上方抛物线上一动点，于． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段长度的最大值； （3）如图2，设的中点为，连接，，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在