7.1.2复数的几何意义（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

7.1.2复数的几何意义 复习导入 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，规定 全体复数所构成的集合叫做复数集． 其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部． 与相等当且仅当且. 注：复数如果能比较大小，说明它是实数 新知探究 思考：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示. 实数 数轴上的点 一一对应 (数) (形) 思考1：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 析：根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对． 由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 新知探究 如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数 复平面内的点. 一一对应 新知探究 思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ x y O a b Z(, ) z=＋ 一一对应 一一对应 一一对应 复数 直角坐标系中的点 平面向量 新知探究 思考3：向量有模长，那么复数呢？ x y O a b Z(, ) z=＋ 我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 图中向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即，其中. 练习巩固 练习1：写出图1中的各点表示的复数； 在复平面内，作出表示下列复数的点和向量： 【答案】（1）；； ； ； ； （2）； ； ； ； ； ； 练习巩固 变式1-1：已知复数，复平面内对应点的坐标为( ). . . . . 【答案】 变式1-2：已知复数的实部为，虚部为，则( ). . . . . 【答案】 新知探究 例2：设复数，. (1)在复平面内画出复数，对应的点和向量； (2)求复数，的模，并比较它们的模的大小. 解：(1)当如图，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，. (2)： 所以 新知探究 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果，那么. 思考4：结合上题，猜想若是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 关于轴对称 练习巩固 例3：设在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2). 解：(1)由得，向量的模等于1，所以满足 条件的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆. (2)不等式可化为不等式 即，是以原点为圆心，以及为半径的两个圆所夹的圆环， 但不包括圆环的边界. 练习巩固 练习2：求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件： (1)在复平面内的第二象限内； (2)在复平面内的轴上方. 解：(1)由点在复平面的第二象限内，可得 解得. （2）由点在复平面的轴上方，可得 即，解得或. 练习巩固 变式2-1：求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件： (1)求复数表示的点在轴上时，实数的值； (2)如果点在直线上，求实数的值. 解：(1)因为点在轴上，所以且，解得. 故时，点在轴上. （2）因为点在直线上，所以， 即，所以 解得或. 所以或时，点在直线上. 练习巩固 练习3：在复平面内，复数，对应的点分别为.若为线段的中点，则点对应的复数是(　　) 【答案】 变式3-1：向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（ ）. 【答案】 练习巩固 变式3-2：在复平面内，点，，对应的复数分别为，，，为复平面的坐标原点.求向量，对应的复数； 解：由复数的几何意义，得 所以， 所以对应的复数是，对应的复数是. 练习巩固 变式3-3：在复平面内，三点对应的复数分别为 （1）求向量，，对应的复数； （2）判定的形状． 解：（1）由复数的几何意义知： ＝(1,0)， ＝(2,1)， ＝(－1,2)， 所以＝ －＝(1, 1)， ＝ －＝(－2, 2)， ＝ －＝(－3, 1)， 所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. （2）因为||＝，||＝2，||＝，